Vektoren, Nachweis Winkel?

Aufg 9 - (Mathe, Vektoren, rechter Winkel)

2 Antworten

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Zuerst stellst du fest, welches die längste Seite ist.
Aus der Differenz der jeweiligen Ortsvektoren (Ende - Anfang) errechnest du

Vektor <AB> = < 3 ; 1 ; 2 >      Länge AB = √(9 + 1 + 4) = √14
           <AC> = < 1 ; -1 ; -1 >             AC = √3
           <BC> = < -2 ; -2 ; -3>             BC = √17

Demnach ist BC die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Ich prüfe das schnell mit dem Pythagoras:    14 + 3 = 17        Stimmt.

Nun weiß ich eigentlich schon, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Aber es soll ja vektoriell bewiesen werden. Daher bilde ich das Punktprodukt:

<AB> ● <AC> =  < 3 ; 1 ; 2 >  ●  < 1 ; -1 ; - 1 >  =  3 - 1 - 2  =  0

Siehe da, die Vektoren sind wirklich orthogonal.

Die Fläche bestimme ich aus der Tatsache, dass die Katheten sich gegenseitig zur Höhe haben:

A = ½√(14 * 3) = 0,5 * √42 = 3,24  F.E.

Die anderen entsprechend.

Um die Fläche zu errechnen:

Grundfläche Betrag von Vektor AB = Wurzel 14

Mit dem Satz d. Pythagoras:
b^2 = Betrag BC - 1/2 • Wurzel 14
b = 1,5

Für die Fläche :
Wurzel 14 • 1,5 / 2 = 2,81 FE

Da ist doch irgendwo ein Fehler bei oder?

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@bakic

Das Fläche des Rechtecks aus den Katheten:
√14 * √3 = √42 = 6,48
Die Hälfte ist: 3,24

---

√3 ist ja nicht 1,5
wie du meinst.

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Ich habe aber versucht die Höhe des Dreiecks zu berechnen. Wie kann man denn die Kathete einfach als die Höhe durchgehen lassen?

Wenn ich mit dem Satz des Pythagoras das machen will, komme ich auf b= 1,5

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@bakic

Jedes Dreieck hat drei Höhen. Die Höhe, die du meinst, ist die auf der Hypotenuse BC (gewöhnlich die einzige, die im rechtwinkligen Dreieck interessiert - außer eben beim Feststellen der Fläche).

Diese Höhe ist leider in diesem Fall sehr schlecht auszurechnen. Deshalb geht man ja auch den anderen Weg mit den Katheten, um die Fläche auszurechnen.

Du würdest sogar diese Höhe im vorliegenden Fall aus Fläche durch Hypotenuse berechnen.

Jede Strecke in einem Dreieck, die eine Orthogonale auf einer Seite darstellt, die mit dem Punkt gegenüber verbunden ist, nennt man Höhe, also im rechtwinkligen Dreieck auch die Katheten.

Isso.

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@Volens

Den Pythagoras zur Berechnung der Höhe auf der Hypotenuse zu verwenden ist zunächst gar nicht möglich, da du nicht weißt, wo die Höhe (von A aus) auf der Hypotenuse ankommt. Man müsste dann erst die beiden Hypotenusenabschnitte q und p bestimmen.

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Achso, alles klar. Jetzt weiß ich was Sie meinen. Danke!

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Stelle die Seitenvektoren und zeige dass zwei von ihnen senkrecht aufeinander stehen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

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