Vektoren linearabhängig

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wenn vektoren linear abhängig sind, dann sind sie parallel zueinander.

Das stimmt nur für zwei Vektoren.

Vektoren sind dann linear abhängig, wenn man einen von ihnen durch eine Summe (oder Differenz) der anderen ausdrücken kann.

Du kannst dir das mal so überlegen: Wenn du einen Vektor hast, definiert der dir eine Gerade (im Grunde nur fast, du brauchst zusätzlich einen Punkt, durch den sie läuft). Du kannst den Vektor verlängern oder verkürzen (also beispielsweise mit 2, 4, 10 oder auch 1,5 oder 0,1 multiplizieren). Also kannst du jeden zu deinem Vektor parallelen Vektor ausdrücken, indem du deinen Vektor entsprechend in der Länge anpasst. Ist der zweite Vektor nicht parallel dazu, sind die beiden Vektoren nicht linear abhängig, weil du, egal wie sehr du den ersten Vektor stauchst oder streckst, nie den zweiten bekommst.

Zwei Vektoren spannen nicht eine Gerade auf, sondern eine Ebene. Jeder Vektor, der in dieser Ebene liegt, kann man ausdrücken durch die beiden aufspannenden Vektoren. Wenn du im dreidimensionalen Raum bist und die beiden Einheitsvektoren (1,0,0) und (0,1,0) hast, spannen sie dir die xy-Ebene auf. Jeder Vektor parallel zu dieser Ebene ist darstellbar, zum Beispiel auch der Vektor (2,3,0): Hier nimmst du einfach 2 Mal den ersten Einheitsvektor und drei Mal den zweiten und addierst das zusammen. Also sind diese drei Vektoren linear abhängig. Die Einheitsvektoren und (1,2,3) hingegen sind linear unabhängig, denn egal wie du die Einheitsvektoren zusammenzählst, du wirst die z-Kompnente nie hinkriegen.

Dasselbe gilt ganz analog auch in höheren Dimensionen, ist da aber natürlich schwerer vorstellbar.

einfach gesprochen: ein Vektor ist von anderen Vektoren linear abhängig, wenn man ihn aus den anderen Vektoren durch Linearkombination erzeugen kann. "Linearkombination" meint dabei dass man die anderen Vektoren mit einem Faktoren ungleich null malnimmt und die so entstandenen Terme aufsummiert. Im Fall von 3 Vektoren v1, v2 und v3 bedeutet dass z.B., dass man Werte für a1 und a2 aus v3 = a1 v1 + a2 v2 bestimmen kann wobei a1 und a2 ungleich Null sind. Man sieht leicht, dass dann v3 mit v1 und v2 in einer Ebene liegt.

Genau. Wobei ich der Vollständigkeit halber anfügen möchte, dass die Faktoren durchaus gleich Null sein dürfen, nur nicht alle gleichzeitig.

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