Vektor bestimmen

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appletman hat Recht damit, dass das Ergebnis nur bis auf einen Skalaren Faktor bestimmt ist (wenn du den Vektor "langziehst" oder seine Orientierung umkehrst, erfüllt er immer noch alle Bedingungen


A. Weg mit Kreuzprodukt (geht fix):

Der Vektor n = a x b (Kreuzprodukt) ist ein Normalenvektor der Ebene, weil er zu a und zu b orthogonal ist.

Der Vektor a x n ist zu n orthogonal (liegt also in der Ebene) und auch zu a (wie gewünscht)

Du sparst viel Rechenarbeit, wenn du die (so genannte) Graßmann-Identität verwendest ( steht z.B. in >http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Gra.C3.9Fmann-Identit.C3.A4t)

c = n x a = a x (a x b) = <a,b>a - <a,a>b;

hierbei sind <a,b> und <a,a> die entsprechenden Skalarprodukte, also Zahlen.


B. Weiterführung von appletmans Ansatz:

m * ax + n * bx = cx; (1) | *ax

m * ay + n * by = cy; (2) |* ay

m * az + n * bz = cz; (3) | * az

m * ax ² + n * bx ax = cx ax ; (1')

m * ay² + n * by ay = cy ay; (2')

m * az² + n * bz az = cz az ; (3')

Es ist ax² +ay² +az² = <a,a> (Skalarprodukt) und

bx ax + by ay + bz az = <a,b>

Außerdem ist (siehe appletman)

ax * cx + ay * cy + az * cz = 0

Also ergibt die Addition der Gleichungen (1') bis (3') unter Berücksichtigung der letzten Gleichung:

m <a,a> + n <a,b> = 0; (4)

Diese Gleichung ist nicht eindeutig bestimmt (du kannst m oder aber n auswählen und den jeweils andere Skalar bestimmen). Ein naheliegendes Lösungspaar ist

m = <a,b> und n = -<a,a>

Damit erhältst du auch auf diesem Weg:

c = m * a + n * b = <a,b> a - <a,a> b

Kreuzprodukt schon gehabt?

Wenn ja, eben dieses von vektor a und vektor b bilden. Der senkrechte Vektor entsteht dann im Ursprung des Winkels, den a und b miteinander bilden (Rechte-Hand-Regel).

Nach meinem Verständnis steht der Ergebnisvektor aber senkrecht auf der Ebene! Er soll doch aber in der Ebene liegen...

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Du hast recht, das innere Produkt muss gleich null sein, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, also:

a * c = 0, d.h. ax * cx + ay * cy + az * cz = 0

Soll der Vektor c in der Ebene liegen, die durch die Vektoren a und b aufgespannt wird, so muss er sich durch eine Kombination von a und b ausdrücken lassen:

m * a + n * b = c

Das sollte nun für jede Komponente aufgeschrieben werden:

m * ax + n * bx = cx

m * ay + n * by = cy

m * az + n * bz = cz

Wenn ich das richtig sehe, gibt es hier aber durchaus unendlich viele Lösungen!?

Also mangels der wahren Vektoren spinne ich mal ein Beispiel:

Der Vektor a sei a = (-4, 0, 2)

Der Vektor b sei b = (-6, 3, 2)

Der Vektor c sei c = (cx, cy, cz)

c senkrecht zu a, also inneres produkt = 0:

(cx, cy, cz) * (-4, 0, 2) = -4cx + 0cy + 2cz = 0

cz = 2cx, also beispielsweise:

c = (1, cy, 2)

cy wird später dergestalt bestimmt, dass c in der Ebene liegt!

man kann also c durch Teile von a und b ausdrücken, wenn c in derselben Ebene liegt wie a und b:

c = (1, cy, 2) = m * (-4, 0, 2= + n * (-6, 3, 2)

Das liefert komponentenweise:

1 = -4m -6n

cy = 0m + 3n

1 = 2m + 2n, -> m = -n

Also folgt 1 = -4(-n) - 6n = 4n - 6n = -2n, -> n = -1/2

m = -n = 1/2

cy = 0m + 3n = -3/2

Also lautet der vektor c wie folgt:

c = (1, -3/2, 2)

Er steht senkrecht auf n und liegt in der Ebene, die durch a und b aufgespannt wird, da m und n widerspruchsfrei ausgerechnet werden konnten, und zwar für ein bestimmtes cy! Es gibt unendlich viele Lösungen für c, man könnte z.B. mal probieren: c = (2, cy, 4) und dann das cy ausrechnen...

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@appletman

A. Deine Rechnung ist nicht nachzuvollziehen ab:

(..)

1 = 2m + 2n, -> m = -n ?!?

(Es müsste ohnehin heißen: 2 = 2m +2n)


B. Mit deiner (oder meiner) Rechnung, nur mit Variablen "durchgezogen" (s.o.):

c = <a,b> a - <a,a > b =

28 (-4, 0 2) - 20 ( -6, 3, 2) = (8, -60, 16) = 4(2, -15, 4);

also haben in deinem Beispiel alle zulässigen Vektoren die Form

c = µ(2, -15, 4),

wobei µ ein beliebiger Skalar ist.

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@psychironiker

Ich danke dir! Ich habe mich verrechnet, leider! Ich komme nach einer Korrektur auf einen Vektor c von:

c = (1, -15/2, 2),

was offenbar genau die Hälfte von deinem Vektor c ist...

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@appletman

Also noch mal meine Korrekturrechnung, die bin ich dem Fragesteller schuldig:

1 = -4m -6n, -> 1 = -4(1 - n) - 6n = -4 + 4n - 6n , -> 5 = -2n, -> n = -5/2

cy = 0m + 3n, -> cy = -15/2

2 = 2m + 2n, -> 1 = m + n, -> m = 1 - n = 1 + 5/2 = 2/2 + 5/2 = 7/2,

was zu

c = (1, -15/2, 2)

führt!

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@appletman

Danke für alle Antworten, mit dem Kreuzprodukt ist es aber tatsächlich am einfachsten :)

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