unser Junge brachte aus der Schule folgende, für uns unlösbare Aufgabe mit, wer kann helfen?

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3 Antworten

Ich beziehe mich auf das beigefügte Diagramm. Schlüssel:

  • e := Anzahl der nur Erbsen Essenden
  • eb := Anzahl der nur Erbsen+Blumenkohl (keine Möhren) Essenden
  • ebm := Anzahl der (nur) Erbsen+Blumenkohl+Möhren Essenden

usw.

  • n := Anzahl der Menschen, die nichts essen.

Die Bedingungen sind äquivalent zu folgenden Gleichungen:

(¶) e+b+m+eb+em+bm+ebm+n = 51 (es gibt 51 Gäste)
(a) em+ebm = e+2
(b) e = 2b
(c) e+em+m = 25
(d) e+eb+b = 18
(e) b+bm+m = 13
(f) eb = 6

Zunächst beobachtet man: 8 Unbekannte dafür aber 7 Gleichungen. Das ist erstmals problematisch (unterbestimmt). Aber Unterbestimmtheit ist nicht schlecht. Zumal wir eine zusätzliche Information gebrauchen können: alle Unbekannten sind nicht negativen ganzen Zahlen! (Das verwenden wir als aller letztes: siehe Zusatzinfo unten.)

Zunächst möchte ich sofort ein paar der Unbekannten bestimmen. Aus (b),(d), (f) geht hervor:

(f) eb = 6;
(d-b-f) b = 18-2b-6 ⟺ 3b = 12 ⟺ b = 4;
(d-b-f) e = 2b = 8;

Ich möchte auch Gleich (¶) durch (¶–(c+d+e)) ersetzen, welches

(¶') ebm + n – (e+b+m) = -5

ergibt. Da nun e, b, eb bestimmt worden sind, bleibt es, folgende LGS nach den restlichen Unbekannten aufzulösen: 

(¶') ebm + n – e – b – m = -5; also
ebm + n – m = 8+4–5 = 7
(a) em + ebm = e+2 = 8+2 = 10
(c) e + em + m = 25; also
m + em = 25–8 = 17
(e) b + bm + m = 13; also
m + bm = 13–4 = 9

(ACHTUNG: Gleichungen b, d, f wurden „aufgebraucht“ und verschaffen uns keine neuen Infos.) Das sind also 4 Unbekannten und 4 Gleichungen. Man kann dieses System als Matrix-Gleichung darstellen

┌                ┐┌     ┐   ┌    ┐
| -1 0 0 1 1 || m | | 7 |
| 0 1 0 1 0 || em | | 10 |
| 1 1 0 0 0 || bm | | 17 |
| 1 0 1 0 0 || ebm | | 9 |
└ ┘| n | └ ┘
└ ┘

Man verwende nun das sog. Gauß'sche Verfahren, um das LGS zu lösen (oder irgendwelche beliebten Methoden, es ist eigentlich egal):

       ┌                |    ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 |
| 0 1 0 1 0 | 10 |
| 1 1 0 0 0 | 17 | (3) ← (3)+(1)
| 1 0 1 0 0 | 9 | (4) ← (4)+(1)
└ | ┘

┌ | ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 |
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 1 0 1 1 | 24 | (3) ← (3)–(2)
| 0 0 1 1 1 | 16 |
└ | ┘

┌ | ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 |
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 0 0 0 1 | 8 | (3) ⟷ (4)
| 0 0 1 1 1 | 16 |
└ | ┘

┌ | ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 | (1) ← -(1)+(4)
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 0 1 1 1 | 16 | (3) ← (3)–(4)
| 0 0 0 0 1 | 8 |
└ | ┘

┌ | ┐
| 1 0 0 -1 0 | 1 |
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 0 1 1 0 | 8 |
| 0 0 0 0 1 | 8 |
└ | ┘

Aus der letzten Form kann man die Form der Lösung folgendermaßen ablesen:

(1)  m – ebm = 1; also   m =  1+ebm
(2) em + ebm = 16; also em = 10–ebm
(3) bm + ebm = 8; also bm = 8–ebm
(3) n = 8

Zusatzinfo. Alle Unbekannten dürfen nur Werte aus {0; 1; 2; …} annehmen. Daraus und aus (3) erschließt sich, dass ebm ∈ {0; 1; …; 8}. Nun ist es klar, dass jede Wahl von ebm in {0; 1; …; 8} zu einer zulässigen Lösung führt. Darum sind alle Lösungen zum Problem parameterisiert:

┌     ┐   ┌    ┐     ┌    ┐
| e | | 8 | | 0 |
| b | | 4 | | 0 |
| m | | 1 | | 1 |
| eb | = | 6 | + t·| 0 |, t ∈ {0;1;2; … ;8}.
| em | | 10 | | -1 |
| bm | | 8 | | -1 |
| ebm | | 0 | | 1 |
| n | | 8 | | 0 |
└ ┘ └ ┘ └ ┘

Nach Überprüfung sieht man, dass jede dieser 9 Lösungen die ursprünglichen 7 Bedingungen erfüllen. Das Problem ist somit unterbestimmt.

Das Ergebnis von [junigloeckchen] ist eines von den oben stehenden mit lediglich t = 6 eingesetzt. Er/sie hat m. E. zwei Fehler gemacht: die Unterbestimmtheit nicht zu erkennen (außer ich habe etwas in der Aufgabenstellung verpasst) und anzunehmen, dass alle etwas essen. Nach meinem Verständnis, ist das nicht gegeben.

EBM - (Schule, Mathe, Mathematik)
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Kommentar von kreisfoermig
16.09.2016, 11:58

Bei [junigloeckchen] meinte ich Folgendes:

Er benutzt scheinbar em+ebm=2·e statt Gleichung (a) oben, vergisst die Unterbestimmtheit (äquivalent zu der Verwendung von t=6 oben), und fasst ebm+n (=14 unter t=6) zusammen als den „Rest“.

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Kommentar von kreisfoermig
16.09.2016, 12:15

Mir fällt auf, ich habe einen Rechenfehler im Gaußverfahren gemacht. Hier nochmals:

       ┌                |    ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 |
| 0 1 0 1 0 | 10 |
| 1 1 0 0 0 | 17 | (3) ← (3)+(1)
| 1 0 1 0 0 | 9 | (4) ← (4)+(1)
└ | ┘

┌ | ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 |
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 1 0 1 1 | 24 | (3) ← (3)–(2)
| 0 0 1 1 1 | 16 |
└ | ┘

┌ | ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 |
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 0 0 0 1 | 14 | (3) ⟷ (4)
| 0 0 1 1 1 | 16 |
└ | ┘

┌ | ┐
| -1 0 0 1 1 | 7 | (1) ← -(1)+(4)
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 0 1 1 1 | 16 | (3) ← (3)–(4)
| 0 0 0 0 1 | 14 |
└ | ┘

┌ | ┐
| 1 0 0 -1 0 | 7 |
<~~~> | 0 1 0 1 0 | 10 |
| 0 0 1 1 0 | 2 |
| 0 0 0 0 1 | 14 |
└ | ┘

Aus der letzten Form kann man die Form der Lösung folgendermaßen ablesen:

(1)  m – ebm = 1; also   m =  7+ebm
(2) em + ebm = 16; also em = 10–ebm
(3) bm + ebm = 8; also bm = 2–ebm
(3) n = 14

Daraus ergibt sich, die notwendig und hinreichende Beschränkung ebm ∈ {0; 1; 2}. Also ist die Lösung:

┌     ┐   ┌    ┐     ┌    ┐
| e | | 8 | | 0 |
| b | | 4 | | 0 |
| m | | 7 | | 1 |
| eb | = | 6 | + t·| 0 |, t ∈ {0;1;2}.
| em | | 10 | | -1 |
| bm | | 2 | | -1 |
| ebm | | 0 | | 1 |
| n | | 14 | | 0 |
└ ┘ └ ┘ └ ┘

Das erfüllt alle Bedingungen. (Ich hatte letztes Mal bei der Lösung die falsche Gleichungen für (a) überprüft.)

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Ich bin mir jetzt nicht sicher ob meine Methode die einfachste war, aber ich habe wie in der Antwort vor mir die Aussagen mit Variablen aufgeschrieben. Ich habe NB vorher als nur Brokkoli, NM und NE als jeweils nur Möhren bzw Erbsen und EM/MB/BE als (nur) Erbsen und Möhren usw definiert.
Dann habe ich gesehen, dass 25 Leute keinen Brokkoli essen möchten und demnach, entweder NM, NE oder EM essen, nach dem Muster bin ich weiter gegangen und habe dann ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Variablen erstellt. Einmal die eben beschriebene 'keinen Brokkoli' Gleichung, dann 'keine Möhren', 'keine Erbsen' und a) und b).
f) habe ich direkt als Zahl übernommen.

Als Ergebnis hatte ich
4 x NB
8 x NE
7 x NM
6 x BE
2 x BM
10 x EM
und die restlichen 14 Essen demnach Erbsen, Möhren und Brokkoli.
Ich hoffe die Erklärung ist verständlich. Kann aber gut sein, dass es auch einfacher geht.
In welche Klasse geht der Sohn denn?

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Kommentar von Kugelschreiber9
11.09.2016, 14:38

HOLY ich hab vergessen das es ja auch noch welche gibt die alles essen >< dann komm ich auch auf dein Ergebnis

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Kommentar von anna1lena
11.09.2016, 14:45

9. Schuljahr Hauptschule, dies ist aus dem Stand die erste Aufgabe in Mengenlehre und gelöst werden soll es mit den bekannten sich teilweise überschneidenen Kreisen (wobei ich der Meinung bin, dass es auch mit Logik in Form von Formeln gehen sollte)

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Kommentar von junigloeckchen
11.09.2016, 15:39

Ja ok, wenn man sich das mit Kreisen aufmalt ist es vermutlich einfacher.
Finde die Aufgabe als erste Aufgabe zu dem Thema aber auch definitiv viel zu schwer.

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Ich versuche das mal auf folgender Grundlage:

A000=kein Gemüse, A001=nur Blumenkohl, A010=nur Möhren, A011=nur Möhren und Blumenkohl  .... A111=Erbsen, Möhren und Blumenkohl

a) A100 + 2 = A011 + A111

b) A100 = 2 * A001

c) 25 = A000 + A010 + A100 + A110

d) 18 = A000 + A001 + A100 + A101

e) 13 = A000 + A001 + A010 + A011

f) 6 = A101

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Kommentar von anna1lena
11.09.2016, 14:46

tut mir leid, diesem System kann ich nicht folgen

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