Umlaufzeit eines Erdsatelliten?

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4 Antworten

Bitte ich brauch nur die Formeln.

O.k., trotzdem kann ich es mir nicht verkneifen, vor jeglicher Rechnung als erste Antwort »knapp einen Monat« rauszuhauen, allein schon wegen der Zahl. Das ist nämlich die mittlere Entfernung des Mondes von der Erde.

Nun aber zu den Formeln:

Die Schwerebeschleunigung im Gravitationsfeld eines Himmelskörpers der Masse M ist, im Abstand r von dessen Schwerpunkt,

(1) g⃗ = –e⃗_r·G·M/r²,

wobei G ≈ ²/₃×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) die Gravitationskonstante und e⃗_r der Einheitsvektor in radialer Richtung ist (–e⃗_r weist also auf den Schwerpunkt). 

Für eine Kreisbahn muss die Zentrifugalbeschleunigung

(2) a⃗_z = (v²/r)·e⃗_r = ω²·r·e⃗_r = ω²·r⃗

gleich |g⃗| sein, sodass

(3.1) G·M/r² = ω²·r

sein muss, was sich zum 3. Kepler'sche Gesetz für Kreisbahnen

(3.2) G·M = ω²r³ = 4π²r³/T² ⇔ T² = (4π²/GM)·r³

umformen lässt (für elliptische Bahn ist r durch r̅ zu ersetzen, die mittlere Entfernung). Natürlich folgt daraus schließlich

(3.3) T = 2π√{r³/GM}.

Grob überschlagend…

…erhalte ich zunächst

r³ = 64·(1 – 1/25)³×10²⁴m
   = 64(1 – 3/25 + 3/625 – 1/15625)×10²⁴m³
   ≈ 64(1–72/625)×10²⁴m³
   ≈ 56×10²⁴m³,

und mit GM ≈ 4×10¹⁴m³/s² ist

r³/GM ≈ 14×10¹⁰s²,

sodass ich auf etwas weniger als 8π×10⁵s, also ungefähr 24×10⁵s komme. Ein Tag hat etwa (6/7)×10⁵s, sodass der Quotient etwa 28 Tagen entspricht. Das kommt zwar nicht ganz hin mit dem Umlauf des Mondes, aber dies ist ja eine grobe Überschlagsrechnung.

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Kommentar von SlowPhil
26.09.2016, 13:29

…was sich zum 3. Kepler'sche Gesetz für Kreisbahnen … umformen lässt…

Eigentlich müsste es »3. Kepler'sche Regel« heißen, denn für ein »Gesetz« ist sie, wie das »Ohm'sche G.« oder das »Hook'sche G.« nicht fundamental und allgemeingültig genug.

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Die Zentrifugalkraft muss gleich groß sein, wie die Anziehungskraft:

Zentrifugalkraft Fz= m* ω² * r = m * v² / r

Erdanzeihungskraft FG= G *m_erde * m / r²

G... Gravitationskonstante

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Die Formel für die Umlaufzeit ist hier...

https://de.wikipedia.org/wiki/Satellitenorbit

...in dem Abschnitt "Umlaufzeit" die Formel (1) für U.

Setze für die große Halbachse a den Bahnradius ein. Das ist erstens die Höhe, die Du genannt hast, und es muß noch der Erdradius von gut 6000 km dazu addiert werden, denn der Bahnradius beginnt im Erdmittelpunkt.

(Der Ausdruck "große Halbachse" kommt daher, daß die Umlaufbahnen in Wirklichkeit Ellipsen sind und deshalb keinen richtigen Radius haben. Aber wir tun hier so, als sei die Umlaufbahn kreisförmig und als hätte sie einen Radius.)

Setze für G die Gravitationskonstante ein, sie steht hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationskonstante

Für M1 + M2 müßtest Du nun genaugenommen nicht nur die Masse der Erde wissen, die hier steht...

https://de.wikipedia.org/wiki/Erde

...sondern auch die Masse des Erdsatelliten. Aber die künstlichen Erdsatelliten sind alle viel kleiner als die Erde. Ihre Masse kann man daher hier einfach weglassen.

Die Umlaufzeit, die herauskommt, muß etwas mehr als 2 Millionen Sekunden lang sein. Es ist leicht, sie in Stunden und Tage umzurechnen.


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