Umkreis eines Sehnenvierecks brechnen?

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1 Antwort

Ich vermute mal, dass es hier um die Berechnung mittels Vektoren gehen soll, oder? Also erstmal: Ein Kreis ist ja schon durch drei Bedingungn festgelegt: Einmal den Radius und zweimal die Koordinaten (x- und y-Koordinaten) des Mittelpunktes. Wenn sich das Ganze nicht im 2D- sondern bspw. im 3D abspielt, dann benötigt man zwar für den Mittelpunkt mehr Koordinaten. Aber da ja alle Punkte des Sehnenvierecks und der Umkreis in einer Ebene liegen, lässt sich das immer auf den 2D-Fall zurückführen, sodass sich an der Tatsache, dass man drei Bedingungen benötigt nichts ändert. Das heißt: Du kannst nur drei von den vier Punkten verwenden. Der vierte Punkt muss von vornherein so gewählt sein, dass er auf dem Kreis liegt (D.h.: nicht jedes beliebige Viereck hat einen Umkreis). Also: Du kannst dir drei der vier Eckpunkte raussuchen, damit ein Dreieck bilden nud dann den Umkreis um dieses Dreieck bilden.

Dazu gibt es folgende Möglichkeiten: Wenn ein rechter Winkelenthaten ist, gilt der Satz des Thales und der Mittelpunkt liegt auf der Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt genau in der Mitte, was ja dann sehr leicht zu berechnen ist.

Wenn das icht der Fall ist, muss man so vorehen: Der Mittelpunkt muss von allen drei Punkten (nennen wir sie A,B und C) denselben Abstand haben. Also muss er jeweils auf den Schwerlinien des Dreiecks liegen. Also: Von zwei Seiten die Mittelpnkte berechnen und dann zwei Geradengelichungen aufstellen, die einmal durch den Mittelpunkt und den Gegenüberliegenden Punkt gehen (Also bspw. durch C und die Mitte von AB, und dann nochmal eine die durch A und die Mitte von BC geht).. Diese beiden Geraden miteinander Schneiden. Das ist der Mittelpunkt des Kreises. Den Radius erhält man dann als Abstand vom Mittelpunkt zu einem der Außenliegenden Punkte.

Am Ende sollte man noch überprüfen, ob das Viereck wirklich ein Sehnenviereck ist, also ob dre Abstand des vierten Punktes zum Mittelpunkt dem Radius entspricht.

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