Überführe die Scheitelpunktform?!?!?! HILFE!

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4 Antworten

Ganz allgemein geht das so:

f ( x ) = a x ² + b x + c

[Aus den ersten beiden Summanden den Koeffizienten des quadratischen Gliedes ( also a ) ausklammern:]

= a [ x ² + ( b / a ) x ] + c

[Quadratische Ergänzung bestimmen, das ist ( b / ( 2 a ) ) ² , diese innerhalb der eckigen Klammern addieren und gleich wieder subtrahieren:]

= a ( x ² + ( b / a ) x + ( b / ( 2 a ) ) ² - ( b / ( 2 a ) ) ² ) + c

[Die ersten drei Summanden innerhalb der eckigen Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammenfassen:]

= a [ ( x + ( b / ( 2 a ) ) ) ² - ( b / ( 2 a ) ) ² ] + c

[Den Faktor a wieder in die eckige Klammer hineinmultiplizieren:]

= a * ( x + ( b / ( 2 a ) ) ) ² - a * ( b / ( 2 a ) ) ² + c

[den vorletzten Summanden zunächst ausmultiplizieren:]

= a * ( x + ( b / ( 2 a ) ) ) ² - a * b ² / ( 4 a ² ) + c

[und dann mit a kürzen:]

= a * ( x + ( b / ( 2 a ) ) ) ² - b ² / ( 4 a ) + c

[und schließlich den gesamten Term formal an die Scheitelpunktform anpassen:]

= a * ( x - ( - b / ( 2 a ) ) ) ² + ( c - b ² / ( 4 a ) )

Das ist die Scheitelpunktform.
Aus ihr kann man den Scheitelpunkt S ( - b / ( 2 a ) | c - b ² / ( 4 a ) ) direkt ablesen.

Dein Beispiel:

f ( x ) = 3 x ² + 15 x + 6

a = 3, b = 15, c = 6

also Scheitelpunktform:

f ( x ) = 3 * ( x - ( - 15 / ( 2 * 3 ) ) ) ² + ( 6 - 15 ² / ( 4 * 3 ) )

= 3 * ( x - ( - 2,5 ) ) ² + ( - 12,75 )

und Scheitelpunkt:

S ( - b / ( 2 a ) | c - b ² / ( 4 a ) )

= S ( - 15 / ( 2 * 3 ) | 6 - 15 ² / ( 4 * 3 ) )

= S ( - 2,5 | - 12,75 )

So kann man es auch aus der Scheitelpunktform direkt ablesen.

Nutzen: Man braucht nur noch die Koeffizienten a, b und c der Normalform in die oben hergeleiteten Formeln für die Scheitelpunktform bzw. den Scheitelpunkt einzusetzen und auszurechnen.

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Klammere zunächst einen geeigneten Faktor aus: f(x)=3x²+15x+6 = 3(x²+3x+2)

Jetzt muss der Teil in der Klammer (x²+3x+2) so ergänzt werden, dass eine binomische Formel stehen bleibt und ein absoluter Rest.

(x²+3x+2)= x²+3x+1,5² -1,5²+2=(x²+3x+1,5²) -1,5²+2= (x+1,5)²-2,25+2 = (x+1,5)²-0,25

Der Teil mit dem +1,5² -1,5² heißt quadratische Ergänzung hoffe du hast da schonmal etwas von gehört....

Nun alle Puzzleteile zusammenführen:

f(x)=3x²+15x+6 = 3(x²+3x+2) = 3[ (x+1,5)²-0,25 ]

Jetzt noch die eckige Klammer wieder ausmultiplizieren: f(x)=3x²+15x+6 =3(x+1,5)²-0,75

Scheitelpunkt (-1,5|-0,75)

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Kommentar von lisatbp1997
22.08.2012, 20:12

Daaaaaaaaanke! -

0

3 kannst du auskammern und dann musst du die quadratische Ergänzung machen

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