Trigonometrie und Taschenrechner

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5 Antworten

Mit dem Sin von Alpha= 20/5

Das ist aber gleich doppelt falsch: Denn erstens kann der Sinus nie größer als 1 sein. Für ein Dreieck bedeutet das, dass die längste Seite (die Hypotenuse) im Nenner stehen muss; und (zweitens) gilt das ja auch nur im rechtwinkligen Dreieck, du hast aber kein rechtwinkliges Dreieck gegeben.

Außerdem wäre das der Winkel gamma, denn da bist du ja am Punkt C.

Mach dir eine Skizze. Zeichne die Höhe h auf der Seite c. Da das Dreick gleichschenklig ist, steht die Höhe genau in der Mitte von c. Dann bildet aber die eine Hälfte von c zusammen mit der Höhe h und der Seite a (oder b, egal) ein rechtwinkliges Dreieck.

Der eine Winkel ist dann genau die Hälfte von gamma, die Seite a (oder b, egal) ist die Hypotenuse, die halbe Seite c ist die gegenkathete. Daher:

sin(gamma / 2) = Gegenkathete / Hypotenuse = (c/2)/a = 2,5 / 20

Rest selber machen. Orientiere dich dabei an der Skizze.

notizhelge 23.03.2012, 16:17

PS: Denk dabei daran, dass die anderen beide Winkel gleich groß sein müssen, und dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180° beträgt.

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Zunächst möchte ich anmerken, dass ich die Aufgabe ebenso gelöst hätte wie notizhelge. Aber ich möchte kurz demonstrieren, dass oftmals mehrere Wege zum Ziel führen. Nach dem Sinussatz gilt:

Sin (Gamma) / Sin (Alpha) = c / a. Nun gilt aber, da es sich um ein Gleichschenkliges Dreieck handelt, dass Gamma = 180 - 2Alpha ist.

=> Sin (180 - 2Alpha) / Sin(Alpha) = 1/4. Es gilt desweiteren, dass sin(180-x) = sin(x), also:

sin (2Alpha) / sin(Alpha) = 1/4.

=> sin(Alpha + Alpha) / sin(Alpha) = 1/4. hust Nun folgt mithilfe der Additionstheoreme:

2 * sin(alpha) * cos(alpha) / sin(Alpha) = 1/4

=> 2 * cos(alpha) = 1/4

=> cos (alpha) = 1/8

=> Alpha ~ 82,82°.

Wenn dir die Additionstheoreme oder der Sinussatz nichts sagen, kannst du diesen Lösungsweg getrost vergessen, ich wollte nur anmerken, dass es oft nicht DEN Lösungsweg für eine Aufgabe gibt :D

wenn du die Höhe auf c einzeichnet und den Sinussatz a/sin a=b/sin b verwendest sollte es klappen und wenn ein sinus wert rauskommt kannst du den mit sin hoch -1 in grad umrechnen

Sin von Alpha= 20/5

sin ( alpha ) = Gegenkathete / Hypotenuse

gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken! Das vorliegende Dreieck aber ist nicht rechtwinklig. Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten, musst du zunächst die Höhe h über c berechnen. Die Höhe h steht senkrecht auf der Basis c und bildet in ihrem Fußpunkt F einen rechten Winkel, sodass das Dreieck AFC rechtwinklig ist.

Für die Höhe h gilt nach Pythagoras:

h ² + ( c / 2 ) ² = b ²

<=> h ² = b ² - ( c / 2 ) ²

=> h = Wurzel ( b ² - ( c / 2 ) ² )

Diese Höhe ist nun die Gegenkathete des Winkels alpha. Hypotenuse ist b. Also:

sin ( alpha ) = h / b

<=> alpha = arcsin ( h / b )

= arcsin ( Wurzel ( b ² - ( c / 2 ) ² ) / b )

= arcsin ( Wurzel ( 20 ² - 2,5 ² ) / 20 )

= 82,8 °

Da es sich um ein geichschenkliges Dreieck handelt, gilt für den Winkel beta:

beta = alpha = 82,8 °

und wegen des Winkelsummensatzes

alpha + beta + gamma = 180 °

<=> gamma = 180 ° - alpha - beta

= 180 ° - 2 * 82,8 ° = 14,4 °

Du musst dein Taschenrechner einstellen.

Rinakatha 23.03.2012, 16:08

aber ich hab dann andere Beispiele probiert und die sind gegangen

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jmmm2012 23.03.2012, 16:16
@Rinakatha

sin= gegenkathete/ hypotenuse vielleicht hast du dich hierbei verwechselt?

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notizhelge 23.03.2012, 16:27
@jmmm2012

sin= gegenkathete/ hypotenuse vielleicht hast du dich hierbei verwechselt?

Offensichtlich, ja. Außerdem gilt das ja nur im rechtwinkligen Dreieck, und sein Dreieck ist ja gar nicht rechtwinklig.

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