Transzendenz von Pi

... komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Also die erste Aussage, dass die Wurzel von 2 algebraisch ist, weil diese eine Lösung der Gleichung x^2 – 2 = 0 ist, ist natürlich richtig. Nun zur Definition: Eine Zahl ist irrational, wenn sie sich nicht als Quotient zweier ganzen Zahlen darstellen lässt, also nicht Lösung einer linearen Gleichung a * x + b = 0 mit ganzen Zahlen a und b ist. Die Transzendenz ist eine Verallgemeinerung der Irrationalität. Eine Zahl ist transzendent, wenn sie sich nicht als Lösung einer Polynomgleichung a * x^n + b * x^(n-1) + …+ z = 0 mit ganzen Zahlen a,b, …, z darstellen lässt. Pi ist nun nicht eben nicht nur irrational, sondern sogar transzendent. Insbesondere ist sie damit keine quadratische Irrationalität, lässt sich also nicht als Lösung einer Gleichung der Form a * x^2 + b * x + c = 0 darstellen mit ganzzahligen Werten von a, b, c.

Es wurde schon lange vermutet, dass Pi irrational ist und seit ca. 1748 wurde insbesondere von der mathematischen Autorität Leonard Euler vermutet, dass Pi sogar transzendent ist. Übrigens hat Euler in seinem 1748 erschienen Werk „Introductio in Analysin Infinitorum“ (ja, damals wurde noch in Latein publiziert) das Symbol „Pi“ erst richtig populär gemacht. Zuvor wurde meistens „c“ verwendet. 1767 hat dann Lambert die Irrationalität bewiesen. Die Transzendenz von Pi wurde 1882 von Lindemann bewiesen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

die vorherigen antworten sind nicht ganz richtig - pi ist transzendent über den rationalen zahlen, weil es kein polynom mit rationalen koeffizienten gibt, dessen nullstelle pi ist.

hingegen ist pi z b nullstelle des polynoms x - pi. der letzte koeffizient (pi) ist allerdings schon aus den reellen zahlen. daher ist pi nicht transzendent über R.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die Wurzel aus 2 ist ja algebraisch, weil x²-2=0 (x ist die Wurzel aus 2). Das stimmt oder?

Ja.

x²-Pi=0

Da würde schon x -pi = 0 reichen, und das hat direkt pi als Lösung. Aber: Eine algebraische Zahl ist definiert als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten. (http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl) pi ist aber irrational.

In x²-2=0 kommen nur rationale Koeffizienten vor (die 1 als Vorfaktor von x² und die 2 als konstantes Glied), aber in x²-pi=0 kommt eine irrationale Zahl, eben pi, vor. Das ist der Punkt.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von DarkInvasion
09.07.2011, 16:14

Beste Antwort.

0
Kommentar von haverf
09.07.2011, 16:16

Vielen Dank!

0
Kommentar von sk1982
11.07.2011, 02:06

top antwort

0
Kommentar von sprengel
11.07.2011, 11:34

Die letzte Argumentation ist leider nicht ganz sauber: pi ist eben nicht nur irrational sondern transzendent! Es gibt durchaus Polynome, deren Koeffizienten irrational sind, deren Lösungen aber keine transzendenten Zahlen sind, Beispiel: ersetze pi durch die ebenfalls irrationale (aber nicht transzendente) Zahl wurzel(2), das Polynom ist nämlich äquivalent mit x^4 - 2 =0. Also bleibt man besser bei der Definition nicht algebraisch (s.wiki) und Punkt.

0
Kommentar von Zwieferl
12.07.2011, 18:24

Auch die Wurzel aus 2 ist irrational!

0

Was möchtest Du wissen?