Translationsinvarianz im Hilbertraum

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3 Antworten

ich nehme an es geht um quantenmechanik?

es geht nicht um das skalarprodukt <x+a|x+a>, sondern um <T(a)Ψ|T(a)Ψ>=<Ψ|Ψ>

wenn der translationsoperator auf die ortsbasis wirkt wie du angegeben hast: T(a)|x>=|x+a>, dann wirkt er auf die wellenfunktion als T(a)Ψ(x)=Ψ(x-a)

damit hast du:

<T(a)Ψ|T(a)Ψ>=Int dx Ψ* (x-a)Ψ(x-a) -->(variablen substitution x->x-a)--> = Int dx Ψ*(x)Ψ(x) = <Ψ|Ψ>

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Für die Unitarität des Translationsoperators braucht man, soweit ich es sehen kann, keine Homogenität des Raums. <x+a|x+a> = <x|x> folgt einfach aus der Tatsache, dass die Normierung einer Wellenfunktion |x> auf 1 auch nach einer beliebigen Verschiebung noch erhalten sein muss. Denn <x|x> ist ja |x|^2.

Gemischte Skalarprodukte sind Null, wenn a und x unterschiedliche Punkte im Raum sind (die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt in a zu messen, der sich in x befindet, ist Null). <a|a> ist aber natürlich kein gemischtes Produkt und ist 1 statt 0.

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Kommentar von Reggid
31.08.2013, 15:21

|x> ist aber keine wellenfunktion, sondern ein basisvektor im hilbertraum der einteilchenzustände. es handelt sich um eine orthonormalbasis, d.h. <x|x'>=δ(x-x'), und Int dx |x><x|=1, und die einzelnen basisvektoren sind eigenzustände des ortsoperators X|x>=x|x>

die wellenfunktion Ψ(x) im ortsraum zu einem zustand |Ψ> ist hingegen definiert als Ψ(x)=<x|Ψ>, sodass gilt |Ψ>=Int dx Ψ(x) |x>

damit gilt <Ψ|Ψ>=Int dx Ψ *(x)Ψ(x), und das muss auf 1 normiert sein.

ausdrücke der form <x|x> machen keinen sinn, da es δ(0) entspricht und damit überhaupt nicht sinnvoll definiert ist. |Ψ>=|x> als physikalischer zustand kommt nicht vor, da es der wellenfunktion Ψ(x')=δ(x-x') entsprechen würde, und das ist keine funktion im L² (auch ein hilbertraum, aber ein anderer)

wirkt der translationsoperator T(a) auf die basis als T(a)|x>=|x+a>, dann sieht man leicht, wie sich die wellenfunktion Ψ(x) eines allgemeinen zustandes |Ψ> unter der translation T(a)|Ψ> ändert, nämlich

|Ψ>=Int dx Ψ(x) |x>

T(a)|Ψ>=Int dx Ψ(x) T(a)|x> = Int dx Ψ(x) |x+a> = Int dx Ψ(x-a) |x>

also gilt Ψ(x) --> Ψ(x-a) unter dem translationsoperator T(a)

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Das müsstest du eigentlich sofort sehen, wenn du das Skalarprodukt statt in der etwas abstrakten Bra Ket Schreibweise mal in Integralschreibweise hinschreibst. Dann hast du ja ein Integral von -unendl. bis unendl.. Dieses Integral ist natürlich (wegen seiner unendlichen Grenzen) invariant gegenüber verschiebung der Funktion im Integranden

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