Translationsinvarianz im Hilbertraum

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ich nehme an es geht um quantenmechanik?

es geht nicht um das skalarprodukt <x+a|x+a>, sondern um <T(a)Ψ|T(a)Ψ>=<Ψ|Ψ>

wenn der translationsoperator auf die ortsbasis wirkt wie du angegeben hast: T(a)|x>=|x+a>, dann wirkt er auf die wellenfunktion als T(a)Ψ(x)=Ψ(x-a)

damit hast du:

<T(a)Ψ|T(a)Ψ>=Int dx Ψ* (x-a)Ψ(x-a) -->(variablen substitution x->x-a)--> = Int dx Ψ*(x)Ψ(x) = <Ψ|Ψ>

Für die Unitarität des Translationsoperators braucht man, soweit ich es sehen kann, keine Homogenität des Raums. <x+a|x+a> = <x|x> folgt einfach aus der Tatsache, dass die Normierung einer Wellenfunktion |x> auf 1 auch nach einer beliebigen Verschiebung noch erhalten sein muss. Denn <x|x> ist ja |x|^2.

Gemischte Skalarprodukte sind Null, wenn a und x unterschiedliche Punkte im Raum sind (die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt in a zu messen, der sich in x befindet, ist Null). <a|a> ist aber natürlich kein gemischtes Produkt und ist 1 statt 0.

|x> ist aber keine wellenfunktion, sondern ein basisvektor im hilbertraum der einteilchenzustände. es handelt sich um eine orthonormalbasis, d.h. <x|x'>=δ(x-x'), und Int dx |x><x|=1, und die einzelnen basisvektoren sind eigenzustände des ortsoperators X|x>=x|x>

die wellenfunktion Ψ(x) im ortsraum zu einem zustand |Ψ> ist hingegen definiert als Ψ(x)=<x|Ψ>, sodass gilt |Ψ>=Int dx Ψ(x) |x>

damit gilt <Ψ|Ψ>=Int dx Ψ *(x)Ψ(x), und das muss auf 1 normiert sein.

ausdrücke der form <x|x> machen keinen sinn, da es δ(0) entspricht und damit überhaupt nicht sinnvoll definiert ist. |Ψ>=|x> als physikalischer zustand kommt nicht vor, da es der wellenfunktion Ψ(x')=δ(x-x') entsprechen würde, und das ist keine funktion im L² (auch ein hilbertraum, aber ein anderer)

wirkt der translationsoperator T(a) auf die basis als T(a)|x>=|x+a>, dann sieht man leicht, wie sich die wellenfunktion Ψ(x) eines allgemeinen zustandes |Ψ> unter der translation T(a)|Ψ> ändert, nämlich

|Ψ>=Int dx Ψ(x) |x>

T(a)|Ψ>=Int dx Ψ(x) T(a)|x> = Int dx Ψ(x) |x+a> = Int dx Ψ(x-a) |x>

also gilt Ψ(x) --> Ψ(x-a) unter dem translationsoperator T(a)

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@Reggid

Das ist natürlich eine Idealisierung, aber es ist für die Vorstellung einfacher mit Zuständen zu arbeiten, die in einem Punkt lokalisiert sind, selbst wenn sie mathematisch nicht wohldefiniert sind. Ob man Wellenfunktionen oder Kets verwendet, spielt übrigens überhaupt keine Rolle, wähle ich die Ortswellenfunktion Ψ(x)=δ(x-x') also ein bei x' lokalisiertes "Teilchen", dann bekomme ich auch im Wellenfunktionsformalismus das gleiche Problem wie mit den Kets.

Wenn man sauber sein will, kann man natürlich dieses Ψ(x) durch Funktionen aus L² approximieren und als Grenzfall behandeln, aber ich denke, diese Feinheiten wollte der Fragesteller gar nicht wissen. :)

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@PhotonX

ich denke, es geht dem fragesteller wahrscheinlich um eine übungsaufgabe in einem quantenmechanik kurs, da sollte man sich schon über den unterschied/zusammenhang zwischen wellenfunktion und kets klar werden. auf jeden fall ist <x|x> nicht 1. aber man könnte vl. troztdem einfacher auf ebene der basisvektoren argumentieren, dass <T(a)x|T(a)x'>=δ(x-a -(x'-a))=δ(x-x')=<x|x'>

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Das müsstest du eigentlich sofort sehen, wenn du das Skalarprodukt statt in der etwas abstrakten Bra Ket Schreibweise mal in Integralschreibweise hinschreibst. Dann hast du ja ein Integral von -unendl. bis unendl.. Dieses Integral ist natürlich (wegen seiner unendlichen Grenzen) invariant gegenüber verschiebung der Funktion im Integranden

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