Thermodynamik - Teilchenbewegung?

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3 Antworten

Der Ansatz ist doch gar nicht so verkehrt, dir fehlt lediglich ein kleiner mathematischer Trick.

E_kin = m/2 * v^2
E_kin = f/2 * k *T

Daraus folgt:
m/2 * v^2 = f/2 * k *T
T = (m / (f * k)) * v^2
Und jetzt der Trick: wir fassen (m / (f * k)) zu einer Konstante k_1 zusammen. Die ist zwar je nach Gas unterschiedlich (Freiheitsgrade), aber uns interessiert ja nur der Zusammenhang zwischen T und v. Es gilt also:
T = k_1 * v^2 oder
T ∼ v^2
Das bedeutet: Die absolute Temperatur eines Körpers ist ein Maß für das mittlere Geschwindigkeitsquadrat seiner Teilchen. Oder: T ist proportional zu v^2.
Daher die Antwort auf deine Frage:
Die absolute Temperatur muss um denselben Faktor vergrößert werden, mit der sich das quadratische Mittel der Geschwindigkeit vergrößern soll. Doppelte Temperatur bedeutet v^2 wird auch doppelt so groß. v nimmt entsprechend nur um die Wurzel des Faktors zu.

Ach ja, absolute Temperatur meint die Temperatur nach der Kelvinskala. Die andere Möglichkeit wäre die Celsiustemperatur.

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Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit der Gasteilchen ist direkt proportional zur Quadratwurzel der Temperatur, sofern die Molekülmasse sich nicht (z. B. durch eine chemische Reaktion) ändert. Eine Verdopplung der Temperatur auf der Kelvin-Skala führt zu einer Erhöhung der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit um den Faktor √2.

Also muss ich die Temperatur vervierfachen, damit die Geschwindigkeit verdoppelt wird.

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Kommentar von roromoloko
22.07.2016, 17:07

Danke, kann man das vielleicht durch einen Rechenweg zeigen? Also kennen Sie eine Formel, mit der ich es versuchen könnte herzuleiten?

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absolute Temperatur heisst Temperatur in Kelvin. Fertig. Hat nix mit Nullpunkt zu tun. Dann was die Freiheitsgrade betrifft: lies mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Ideales_Gas

Ideales mehratomiges Gas

Möchte man mit dem idealen Gasmodell mehratomige Gaspartikel, also Moleküle, beschreiben, so kann das durch eine Erweiterung der kalorischen Zustandsgleichung geschehen

U = f/2 N kB T

Dabei gibt f

die Anzahl der Freiheitsgrade pro Teilchen an. Moleküle haben neben den drei Translationsfreiheitsgraden weitere Freiheitsgrade für Rotationen und Schwingungen.

Jede Schwingung hat dabei zwei Freiheitsgrade, weil der potentielle und
der kinetische Freiheitsgrad einer Schwingung separate Freiheitsgrade
sind.

Beispielsweise besitzt ein zweiatomiges Gas insgesamt 7 Freiheitsgrade, nämlich

drei Translationsfreiheitsgrade,

zwei Rotationsfreiheitsgrade für Rotationen um Achsen senkrecht zur Verbindungslinie der Molekülatome und

zwei Schwingungsfreiheitsgrade für die eine mögliche Schwingung der Molekülatome zueinander.

Da in der Natur die Rotations- und Schwingungsfrequenzen von Molekülen gequantelt
sind, wird eine gewisse Mindestenergie benötigt, um diese anzuregen.
Oft reicht unter Normalbedingungen die thermische Energie nur, um in
einem zweiatomigen Molekül Rotationen anzuregen. In diesem Fall sind die
Schwingungsfreiheitsgrade eingefroren
und das zweiatomige Gase hat effektiv nur fünf Freiheitsgrade. Bei noch
tieferen Temperaturen frieren auch die Rotationsfreiheitsgrade ein, so
dass nur die 3 Translationsfreiheitsgrade verbleiben. Aus dem gleichen
Grund tritt der theoretisch vorhandene dritte Rotationsfreiheitsgrad für
Rotationen um die Verbindungslinie in der Praxis nicht auf, da die dazu
nötigen Energien ausreichten, um das Molekül zu dissoziieren.
Hier lägen dann wieder einatomige Gaspartikel vor. Bei nicht
stabförmigen Molekülen aus mehr als zwei Atomen tritt der dritte
Rotationsfreiheitsgrad nebst weiteren Schwingungsfreiheitsgraden aber in
der Regel auf.

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