Thema Skalrprodukt Winkel?
Hallo,
Wie genau löst man Aufgabe 7 b) also mit Rechenweg. a) war kein Problem aber wie genau geht b)
Ich weiß das 5 rauskommt mein Ansatz war dass die Länge des Vektors also Wurzel 25 +t^2 gleich 45 Grad gesetzt werden muss aber wie geht es weiter
?
2 Antworten
Hi,
da du a) lösen konntest, kennst du offenbar die Formel, um den Kosinus des Winkels zwischen 2 Vektoren zu berechnen. Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Längen. Für die z-Achse nimmst du am besten den Vektor (0,0,1), das macht das Rechnen mit der Länge nicht so kompliziert ;-)
Der Kosinus von 45° ist ja 1/wurzel(2). Das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g mit (0,0,1) ist t, denn die Werte der x- und y-Koordinate werden mit 0 multipliziert. Dann musst du nur noch die Länge des Richtungsvektors in Abhängigkeit von t berechnen. Alles in die Formel einsetzen und nach t umstellen.
Die Länge des Richtungsvektors der Geraden ist wirklich Wurzel(25 + t²).
Ein Richtungsvektor der z-Achse ist (0 | 0 | 1). Seine Länge ist 1.
Dann muss das Skalarprodukt
(3 | 4 | t) * (0 | 0 | 1) = cos(45°) * Wurzel(25 + t²)
sein.
t = 1/2 * Wurzel(2) * Wurzel(25 + t²)
Quadrieren ergibt
t² = 1/4 * 2 * (25 + t²) = (25 + t²) / 2
Verdoppeln ergibt
2t² = 25 + t²
t² = 25
t ist also 5 oder -5. Da das Quadieren "Scheinlösungen" erzeugen kann, muss man eine Probe machen. Dort sieht man, dass 5 eine Lösung ist und -5 nicht.
Dass t nicht negativ werden kann, sieht man schon beim Zwischenschritt
t = 1/2 * Wurzel(2) * Wurzel(25 + t²).
Danke habe noch eine andere eher generelle Frage und zwar woher weiß man das 45 Grad 1/Wurzeln 2 ist gibt es da eine Regel oder muss man das einfach wissen bzw. was ist wenn der gefragte Winkel z.B. 60 Grad betragen soll?