tan(x) * sin(x) - 4 sin(x) = - 3 cos(x)?

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4 Antworten

(tan x) * (sin x) - 4 sin x                       = - 3 cosx         | tan = sin/cos
(sin x/ cosx) * sinx - 4 sin x + 3 cos x  =  0                  | /cos x
(sin² x / cos² x)  - 4 tan x     + 3            = 0
tan² x      - 4  tan x       + 3                    = 0                  | Subst. z = tan x
           z²      - 4 z   + 3                          = 0                  |  p = -4      q = 3
                                            z₁,₂           =  2 ± 1
                                            z₁              =  3
                                            z₂              =  1

Resubstitution:       x₁ = tan⁻¹ (3) = 71.57°
                               x₂ = tan⁻¹ (1) = 45°

Probe

  1. tan 71.57 * sin 71.57° - 4 * sin 71.57° = -4.588
    -3 cos 71.56°                                       = -0.9489

  2. tan 45° * sin 45° - 4 sin 45°                 = -2.121
    -3 cos 45°                                            = -2.121
      
  3.                           
    Nachdem ich nun die Probe gemacht habe, sehe ich, dass es für 45° genau stimmt, für 71,57° aber nicht. Im Augenblick kann ich nicht ermessen, ob ich mich verrechnet habe oder ein Effekt da ist wie beim Lösen von Wurzelgleichungen, wo ja auch manche Ergebnisse nicht stimmen und einer Probe bedürfen. 
    Da muss ich nochmal drüber nachdenken
  4. (Der Tabellator im Editor spinnt.)
                                              



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Kommentar von Volens
02.07.2016, 18:02

Nach Durchsicht einiger Literatur habe ich jetzt die Erkenntnis, dass es durchaus notwendig ist, die Proben durchzuführen und nichtexistente Lösungen wieder auszuschließen. Das ist also nicht auf Wurzeln beschränkt, und zwar mit ähnlicher Begründung: bei notwendigen Rechnungen, die nicht in den Winkelfunktionen selber begründet sind (z.B. Substitutionen und ihre Wiederauflösung), kann es beim Hin- und Herrechnen zu nichtdefinierten Operationen kommen.

Von daher erkläre ich 45° zur gültigen Lösung.

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Kommentar von fjf100
02.07.2016, 22:27

z^2 - 4 *z+3=0 ist eine Parabel oben offen und 2 Nullstellen

z=1 und z2=3 ein Z1,2 gibt es nicht

Hab ich in meinen Graphikrechner (Casio) eingegeben.

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Kommentar von henzy71
03.07.2016, 01:47

tan 71.57 * sin 71.57° - 4 * sin 71.57° = -4.588

bei mir ist das nicht -4.588 sondern -0.9489 und kommt damit schön überein mit -3 cos 71.57.....

Gruß

Henzy

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Kommentar von ITanfaenger93
03.07.2016, 18:07

Danke für ausführliche Erklärung!

zwei fragen habe ich allerdings:

(tan x) * (sin x) - 4 sin x                       = -cos    | tan = sin/cos | +3

tut man nicht nur die +3 rüber um dann : cos zu rechnen?

(sin x/ cosx) * sinx - 4 sin x + 3           =  0               | /cos x

man muss nicht durch jedes durch cos teilen, nicht nur doch das *sin x und - 4 sin x, sondern auch nochnmal durch (sinx/cosx) ?

Danke nochmal :))

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Lösungen sind x1=0,78534 und x2=1,249 und x3=3,9269 und x4=4,3906

Diese Lösungen wiederholen sich auf der x-Achse periodisch.

Habe ich mit meinen Graphikrechner (Casio) gelöst.

TIPP : Besorge dir privat auch solch ein Ding,dann hast du zumindest in 5 Minuten die richtige Lösung.

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So da habe ich nun ein Problem cos/sin=tan,

Das ist FALSCH!! tan = sin/cos und nicht umgekehrt.

wäre ja cool, wenn tan = cos/sin wäre, denn dann wäre tan * sin nichts anderes als cos....

Aber jetzt widmen wir uns mal der tatsächlichen Aufgabe:

tan(x)*sin(x) - 4 sin(x) = -3 cos(x)    | teilen durch cos (x)

tan (x)* sin(x)/cos(x) - 4 sin (x)/cos(x) = -3

tan² (x) - 4 tan(x) = -3

tan² (x) - 4 tan(x) +3 = 0

(tan (x) -3 ) * (tan (x) -1) = 0

tan (x) = 3 oder tan (x) = -1

x = invtan 3 oder invtan -1

x = 71,57° oder 315°

Gruß

Henzy

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Kommentar von henzy71
02.07.2016, 16:10

Korrektur ab hier:

tan (x) = 3 oder tan (x) = 1

x = invtan 3 oder invtan 1

x = 71,57° oder 45°

Gruß

Henzy

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Kommentar von fjf100
02.07.2016, 22:22

Auf der positiven x-Achse gibt es 4 Nullstellen.

x1=0,78534 x2=1,249 x3=3,9269 und x4=4,3906

x1=0,785 =57,57° und x2=1,249=71,57°

hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt.

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Sin/ cos = tan

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