Tangentengleichung mit h-Methode?

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3 Antworten

Hallo,

ich gehe jetzt mal davon aus, daß es f(x)=(1/2)x² heißen soll.

Der Sinn der h-Methode besteht darin, daß Du Dich der Steigung an einer bestimmten Stelle einer Kurve annäherst.

Wenn f(x)=0,5x², dann ist f(2)=0,5*2²=0,5*4=2

f(2) ist also 2.

Wenn Du die Steigung des Graphen an diesem Punkt (2|2) herausbekommen möchtest, brauchst Du die Steigung der Tangente an dieser Stelle. Die ist aber so ohne weiteres nicht zu ermitteln (jedenfalls, wenn Du nicht weißt, wie man eine Ableitung bildet). Also überlegst Du folgendes: Wenn Du diesen Punkt (2|2) und einen zweiten Punkt auf dem Graphen mit einer Geraden verbindest, dann ist die Steigung dieser Geraden (einer Sehne des Graphen) der Durchschnitt der Steigung, den die Funktion zwischen diesen beiden Punkten besitzt. Nimm zum Beispiel f(3)=0,5*3²=4,5. Du bekommst so den Punkt (3|4,5).

Die Steigung einer Verbindungsgeraden zwischen diesen beiden ist einfach zu ermitteln:

y-Differenz geteilt durch x-Differenz, also (4,5-2)/(3-2)=2,5/1=2,5.

Von (2|2) bis (3|4,5) hast Du also eine Steigung von 2,5 zu bewältigen, denn Du mußt 2,5 Einheiten nach oben und eine Einheit nach rechts, um vom ersten Punkt zum zweiten zu kommen.

Wählst Du nun als zweiten Punkt einen Punkt, der näher an (2|2) ist, indem Du zum Beispiel f(2,5)=0,5*2,5²=0,5*6,25=3,125 nimmst, bekommst Du eine neue Verbindungsgerade mit der Steigung (3,125-2)/2,5-2=1,125/0,5=2,25. Diese Gerade fällt schon etwas flacher aus.

Wenn Du dieses Spielchen weitermachst und Dich immer mehr diesem Punkt (2|2) annäherst, wird aus der Sehne irgendwann die Tangente, die die gleiche Steigung hat wie der Funktionsgraph an der untersuchten Stelle. Deshalb bildest Du den Differenzenquotienten
[f(x0+h)-f(x0)]/(x0+h-x0). Je kleiner h dabei wird, desto näher bist Du an f(x0), in diesem Fall also an f(2).

Du schreibst also [0,5*(2+h)²-0,5*2²]/h (die beiden 2 im Nenner heben sich auf) und läßt h gegen Null gehen, wobei h allerdings nie gleich Null werden darf, sonst dürftest Du nicht mehr durch h teilen. Du näherst Dich der Null nur unendlich nah an.

Den Zähler ausmultiplizieren:

[0,5*(4+4h+h²)-0,5*4]/h=(2+2h+0,5h²-2)/h=(2h+0,5h²)/h=[h*(2+0,5h)]/h

Du hast ein h ausgeklammert, das Du gegen das h im Nenner kürzen kannst und erhältst:

2+0,5h

Kürzen darfst Du, weil h zwar nah an der Null ist, aber eben nicht gleich Null ist, das ist der Trick dabei.

Wenn bei dem Term 2+0,5h h gegen Null geht, geht auch 0,5h gegen Null und es bleibt die 2 als Grenzwert übrig. Diese 2 ist die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x=2, die Steigung der Tangente, zu der die ursprüngliche Sehne endlich geworden ist.

Nun, da das h im Nenner verschwunden ist, darf h natürlich auch Null werden, so daß Du wirklich eine Tangente bekommst und damit die exakte Steigung an der Stelle.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Mordred5786
04.09.2016, 22:31

Vielen, vielen Dank, auch für deine Geduld heute!!!

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Kommentar von Willy1729
06.09.2016, 08:26

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Hallo,

lim (h->0) [f(2+h)-f(2)]/h

Da f(x)=1/4 ist auch f(2)=1/4 und f(2+h)=1/4

[f(2+h)-f(2)]/h=(1/4-1/4)/h=0/h=0.

Da h nicht Null wird, sondern der Null nur unendlich nah kommt, darf hier durch h geteilt werden.

Die Funktion ist eine Waagerechte, nämlich y=1/4, deshalb ist jeder Funktionswert gleich 1/4, ob f(x) allgemein, f(2) oder eben f(2+h).

Natürlich ist die Steigung einer Waagerechten überall Null. Damit ist auch die Steigung der Tangenete, die an irgendeinen Punkt der Funktion angelegt wird, gleich Null, denn in diesem Fall ist die Tangente die gleiche Gerade wie die Funktion.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Mordred5786
04.09.2016, 21:38

Ich hab lange überlegt, bis ich die Rechnung nachvollziehen konnte. Dann ist mir aufgefallen, dass ICH einen Fehler gemacht habe. Die Gleichung muss f(x)=1/2x^2 heißen.

Ich bitte vielmals um Entschuldigung und um erneute Hilfe. Danke!!!

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In deiner Fleichung fehlt die Variable x, aber schau mal hier.

Guck mal hier bej Youtube:

Ansonsten kannst du ja auch eine Probe ü erdie 1.Ableitung deiner Funktion machen.

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Kommentar von Mordred5786
04.09.2016, 21:36

Du hast Recht, ich meinte 1/2x^2.

Kannst du mir damit helfen?

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