tangentengleichung an Parabel durch Punkt aufstellen?

5 Antworten

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat im jeden Buchladen bekommst.

Kapitel,Differentialgeometrie

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Normalengeleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

1) xo=Stelle,wo sich die Tangente und die Funktion f(x) berühren

2) Steigung m=f´(xo) hier haben die Tangente und die Funktion f(x) die selbe Steigung.

Herleitung der Tangentenformel

Bedingung:

1) gleicher Funktionswert bei xo

2) gleiche Steigung m=f´(xo)

Die Tangente ist eine Gerade der Form y=m*x+b

mit m=f´(xo)

yt=ft(x)=f´(xo)*x+b

mit yt=f(xo)

f(xo)=f´(xo)*xo+b

b=f(xo)-f´(xo)*xo

eingesetzt in yt=ft(x)=f´(xo)*x+b

yt=f´(xo)*x+(f(xo)-f´(xo)*xo)

yt=f´(xo)+f(xo)-f´(xo)*xo nun f´(xo) auslammern

yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

der selbe Rechenweg mit der Normalengleichung

Bedingung: Die Normale steht senkrecht auf der Tangente bei f(xo)

Steigung der Normalen mn=-1/mt

mn=Normalensteigung

mt=Tangentensteigung

yn=mn*x+b

yn=-1/mt*x+b=-1/f´(xo)*x+b

yn=fn(xo)=-1/f´(xo)*xo+b

b=......

eingesetzt in yn=fn(x)=....

-1/f´(xo) ausklammern

yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

m = f ' = 2ax+b

Q einsetzen

m = f ' = 2axo + b

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Tangentengleichung

y = mx + n

Q und m einsetzen; dann n berechnen;

yo = (2axo + b) • xo + n

n = yo - (2axo + b) • xo

m und n in

y = mx+n einsetzen

y = (2axo + b) • x + yo - (2axo + b) • xo

jetzt (2axo + b) ausklammern

y = (2axo + b) • [x - xo] + yo

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Q(x_0 | y_0)

Erste Ableitung bilden :

y´ = f´(x) = 2 * a * x + b

Tangentengleichung :

t(x) = f´(x_0) * (x - x_0) + f(x_0)

bzw.

t(x) = f´(x_0) * (x - x_0) + y_0

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Konkretes Beispiel :

y = f(x) = 2 * x ^ 2 - x + 3

Q(4 | 31)

y´ = f´(x) = 4 * x - 1

t(x) = (4 * 4 - 1) * (x - 4) + (2 * 4 ^ 2 - 4 + 3)

(2 * 4 ^ 2 - 4 + 3) entspricht der 31 in deinem Punkt

t(x) = 15 * x - 29

Ich habe gerade erst bemerkt, dass der Taylor erster Ordnung um x⁰ ja nichts anderes als die Tangente in x⁰ ist xD

2
@J0T4T4

Aber ist doch auch nett zu wissen, wie sich die Taylor-Reihe herleitet.

Sie ist schließlich nicht vom Himmel gefallen.

1

f(x)=a*x²+b*x+c abgeleitet

f´(x)=2*a*x+b

mit der Stelle Q(xo/yo) hier wird nur xo gebraucht

Tangentengleichung yt=ft(x)=(2*a*xo+b)*(x-xo)+a*xo²+b*xo+c

Hinweis: yo=f(xo)=a*xo²+b*xo+c

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Ich könnte jetzt auf deinen Ansatz eingehen, aber er wirkt mir ein wenig fremd und ich habe keine Lust, mich darin einzuarbeiten.

Eine Tangente berührt einen Graphen, d.h.:

  • f(x⁰) = t(x⁰) = y⁰ (Schnittpunkt)
  • f'(x⁰) = t'(x⁰) (gleiche Steigung)

ergibt ein Gleichungssystem.

Mit:

  • f(x) = ax² + bx + c
  • f'(x) = 2ax + b
  • t(x) = mx + n
  • t'(x) = m

lassen sich die Funktionen samt Parameter in das Gleichungssystem einsetzen und ermöglichen ein Auflösen nach den gesuchten Parametern.

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