Tangente zum Graphen berechnen

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3 Antworten

Man sieht bereits auf den ersten Blick, dass sowohl f(x) als auch g(x) durch den Ursprung gehen. (Wenn man es nicht sieht, müsste man die beiden schneiden).

Die Steigung der Geraden g(x) ist 6.

Die Steigung von f(x) im Schnittpunkt (=Ursprung) bekommt man aus der 1. Ableitung von f(x) an der Stelle 0. Im gegenständlichen Beispiel sieht man ohne viel zu rechnen, dass diese ebenfalls 6 ist. (Wenn man es nicht sieht, einfach ableiten und 0 einsetzen.)

Daher ist g(x) Tangente an f(x).

Die verlangte zweite Tangente findet man, wenn man nachsieht, in welchem anderen Punkt die erste Ableitung von f(x) ebenfalls 6 ist. Durch diesen Punkt legt man dann eine Gerade der Form y = 6x + d und bestimmt d.

a) Eine Gerade g ( x ) ist Tangente an einen Funktionsgraphen f ( x ), wenn es eine Stelle x gibt, an der gilt:

( I ) f ( x ) = g ( x )

(denn der Berührpunkt muss auf beiden Funktionsgraphen liegen)

und

( II ) f ' ( x ) = g ' ( x )

(denn im Berührpunkt müssen die Steigungen beider Graphen gleich sein).

Man betrachte zunächst die Bedingung ( II ):

f ' ( x ) = g ' ( x )

<=> ( 1 / 2 ) x ² - 4 x + 6 = 6

<=> x ² - 8 x = 0

<=> x = 0 ODER x = 8

Höchstens an diesen Stellen kann g ( x ) Tangente an f ( x ) sein. Für diese Stellen ist also noch die Bedingung ( I )

f ( x ) = g ( x )

zu prüfen:

x = 0:

f ( 0 ) = 0 = g ( 0 )

x = 8:

f ( 8 ) = ( 16 / 3 ) <> 48 = g ( 8 )

Also:

Nur an der Stelle x = 0 ist die Gerade g ( x ) Tangente an den Graphen von f ( x ).

b) Jede zu g ( x ) parallele Gerade h ( x ) hat die Form:

h ( x ) = 6 x + b

mit b <> 0 (bei b = 0 wäre h ( x ) identisch mit g ( x ) )

Wegen h ' ( x ) = g ' ( x ) erfüllt h ( x ) die Bedingung ( II ) ebenfalls nur an den Stellen x = 0 und x = 8. Also kann auch h ( x ) höchstens an diesen Stellen eine Tangente zu f ( x ) sein. x = 0 aber fällt weg, da dort bereits g ( x ) Tangente ist und h ( x ) somit identisch mit g ( x ) wäre. Also kann h ( x ) nur an der Stelle x = 8 Tangente an f ( x ) sein. Damit dass der Fall ist, muss an dieser Stelle aber die Bedingung ( I ) gelten, also:

f ( 8 ) = h ( 8 )

<=> ( 16 / 3 ) = 48 + b

<=> b = ( 16 / 3 ) - ( 144 / 3 ) = ( - 128 / 3 )

Also ist die Gerade

h ( x ) = 6 x - ( 128 / 3 )

ebenfalls Tangente an den Graphen von f ( x ) und zwar an der Stelle x = 8.

.

Hier ein Plot der Funktionen f ( x ) , g ( x ) und h ( x ) :

http://tinyurl.com/7fyszwt

(Falls der Plot verschwinden sollte (das passiert neuerdings leider oft bei WolframAlpha), dann bewege den Mauszeiger in das Feld "Input interpretation")

  1. a) setz das ganze mal in die tangentenformel ein und kuck was passiert. b) versuch, über lim zu argumentieren.

  2. leit die fkt mal ab...

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