suche erklärung: "Eine Familie R von Teilmengen von X heißt σ-Algebra, falls gilt:..."

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2 Antworten

Da hast du in der Tat eine Ungenauigkeit beim Verwenden des Familienbegriffs in der Mathematik aufgespürt - die aber ganz üblich ist. Richtig ist, dass eine Familie zunächst einmal eine Abbildung

I -> A

ist, die jedem Element einer Indexmenge I eine Element einer Quellmenge A zuordnet. Gleichzeitig kümmern sich die Mathematiker dann wieder weniger um die genaue Definition und identifizieren diese Funktion mit ihrem Bild, nämlich der Menge

{a_i | i Element aus I}

In diesem Fall ist A die Potenzmenge von X, also P(X). Die Familie R ist also strenggenommen eine Abbildung einer ungenannten Indexmenge in diese Potenzmenge.

Wenn man davon spricht, dass eine Menge Y in der Familie liegt, dann meint man jetzt, dass Y im Bild dieser Familie liegt, mehr nicht.

Und warum X in R liegt? X liegt nicht automatisch in jeder Familie von Teilmengen, aber damit diese Familie eine σ-Algebra ist, muss das der Fall sein. Wenn du also für eine gegebene Familie überprüfen willst, ob sie eine σ-Algebra ist, muss du als erstes prüfen, ob X da drin liegt.

heyho, danke erstmal.

Kannst du mir ein beispiel nennen in dem X nicht in R liegt?

ich meine wenn R die menge aller potenzmengen ist, dann muss doch logischerweise auch die menge selbst als ganzes also hier X in R liegen ??

ich sags mal so, ich glaub dir zwar das du recht hast, ich verstehe nur nicht wieso es so ist, und wie es dann effektiv aussieht wenn X mal nicht in R liegt.

gruß

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@mareckishet8

R ist eine Familie von Teilmengen von X, nicht die Menge aller Teilmengen von X.

Sei z. B. X die Menge der rationalen Zahlen. Dann sei

für I = {1,2} die Familie A z. B. gegeben durch

A_1 = {1, 1/2, 1/4 ... }

A_2 = {0}.

Das ist eine sehr kleine Familie, ok, aber es ist eine. Offenbar ist X selber nicht in der Familie. Man kann auch noch einfachere Beispiele konstruieren. Du hast nur eine Abbildung in die Potenzmenge, keine Abbildung auf, die Abbildung muss nicht surjektiv sein.

Noch einfacheres Beispiel: Sei X = {0,1}. Dann ist P(X) = {{}, {0}, {1}, {0,1}}. Natürlich ist X in P(X) enthalten. Eine Familie R von Elementen von P(X) ist aber nur eine Auswahl von Elementen aus P(X). So kann ich für die Familie auch eine Indexmenge I = {1} wählen, dann hat die Familie auch nur ein einziges Element, nämlich z. b.

A_1 = {1}

Auch in dieser Familie ist X selber nicht enthalten.

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@FataMorgana2010

Manche Autoren nehmen auch bei der σ-Algebra von Anfang an gar nicht den Begriff der Familie. Vielleicht ist es in der Formulierung für dich dann klarer:

Eine σ-Algebra (über X) ist eine Teilmenge R der Potenzmenge von X, für die gilt:

  1. X ist Element von R
  2. ...
  3. ...

X ist natürlich Element der Potenzmenge P(X) von X, aber nicht unbedingt ein Element jeder Teilmenge von P(X).

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@FataMorgana2010

danke für die antwort, ich denke ich habs verstanden ^^

jetzt stellen sich mir nur noch 2 fragen.

  1. wie siehst du auf gutefrage.net dass jemand eine antwort von dir kommentiert? o.O ich suche diese funktion seit ewigkeiten.

  2. in den bedingungen für eine sigma algebra, steht ja, dass X element R sein muss, dass jeweils das komplement des enthaltenen elementes ebenfalls enthalten sein muss und dass aus A,B enthalten die menge A und B enthalten folgt.

wenn ich jetzt z.b. X = {1,2,....,100} wähle und als familie von teilmengen A1 = {1} A2=... usw.

das komplement von A1 wäre dann ja alles außer der 1 also {2,...,100} muss ebenfalls enthalten sein, und da A1 und das komplement enthalten sind, muss ebenfalls die vereinigung also wieder X enthalten sein oder?

ich sehe nicht wo der unterschied zwischen bedingung 1 und den anderen beiden ist, ich meine die 2 letzteren bedingungen führen immer automatisch zur erfüllung der ersten?

gruß

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@mareckishet8

Was die zweite Frage angeht:

Ja, sobald ein Element A in R drin liegt, folgt aus den beiden letzten Eigenschaften sofort, dass auch X selbst in R ist. Was dir aber passieren könnte ist, dass R die leere Menge ist.

In diesem Fall sind die Bedingungen 2 und 3 trivialerweise erfüllt, denn Aussagen über Elemente der leeren Menge sind immer wahr. Die erste Eigenschaft ist aber nicht erfüllt, denn X liegt nunmal nicht in der leeren Menge.

Prinzipiell könnte man also einfach fordern, dass R nicht leer ist. Aber es ist nunmal häufig sehr leicht zu zeigen, dass X (oder die leere Menge) in R liegt.

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@Melvissimo

oh ok, gefällt mir ^^ ist alles klar jetzt :)

schade dass ich nicht 2 sternchen verteilen kann :(

gruß

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Familie ist so ein großes Wort. Was du intuitiv haben willst, ist eine Menge R von Teilmengen von X, die ein paar schöne Eigenschaften erfüllt. Aber "Mengen von Mengen" ist immer so eine gefährliche Angelegenheit... Reden wir also lieber von einem Mengensystem

R Teilmenge P(X), wobei P(X) die Potenzmenge von X ist.

Beispiel: X ist die Menge der Zahlen {1, 2, ..., n} und R ist die Potenzmenge P(X) selbst.

Nun, da X eine endliche Menge ist, ist auch R eine endliche Menge und wir können die Elemente aus R "durchzählen" als A1, A2, ..., A(2^n).

Nun, falls X eine unendliche Menge ist und R Teilmenge P(X), dann kann es mir passieren, dass R überabzählbar ist und ich so eine Nummerierung A1, A2, ... nicht hinbekomme.

Trotzdem möchte man gerne etwas ähnliches wie eine Nummerierung haben. Man sagt daher einfach, dass in R die (bestenfalls paarweise verschiedenen) Elemente A_i liegen, wobei i aus einer "Indexmenge" I mit passender Kardinalität ist.

Formal bedeutet das, dass wir eine (bestenfalls injektive) Abbildung I ~> R haben, aber so stell ich mir Familien nicht wirklich vor. Ich habe stets das Bild der "durchnummerierten Menge" im Kopf, nur dass die "Anzahl" der Nummern eben auch überabzählbar sein kann.

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