Substitution zur Lösung von Nullstellen von Funktionen

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6 Antworten

Weitere Möglichkeiten, die du in deinem Kommentar zu rawhide angibst, bestehen.

Bleibt noch der Fall "Hardcore-Mathematiker mit mas*chistischen Neigungen": Solche führen eine Gleichung vierten Grades z.B. auf eine Gleichung dritten Grades zurück und lösen jene mit Cardani-Formel (vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung). Und wenn sie nicht gestorben sind, dann rechnen sie noch heute.

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Bei der Substitution gibt es auch andere Möglichkeiten, die man im Hinterkopf haben muss, Die einfachste ist natürlich, wenn man x² = z setzen kann, was gerade Potenzen voraussetzt, Es kann sich aber auch ein anderer Ausdruck in einer Gleichung wiederholen, z,B.

x² - 1

oder ähnlich. Das ist manchmal nur implizit, und man muss "verdächtige" Terme in längeren Funktionen untersuchen. Wenn in mehreren Funktionsgliedern Terme auftauchen, die auf Binome zurückzuführen sind, wird meist eine Substitution erforderlich sein. Das kann dann auch in "ungeraden" Funktionen geschehen.

Und so weiter,

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Substitution und Polynomdivision hast Du nun verstanden.
zu "...was kann man dann... noch machen..."
Wie psychironiker schon andeutete, kann man eine kubische Hilfsgleichung aufstellen ...
alles etwas umständlich und es gibt Fallunterscheidungen...

Was viele jedoch nicht wissen: analog zur pq-Formel für quadrat. Gl. gibt es auch für Gleichungen Grad 3 und 4 explizite Formeln: PQRST und PQRSTUVW
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
zeigt im Beispiel 20, dass beide Lösungsalgorithmen das selbe Ergebnis liefern.
(noch kein Lernstoff für die Schule; zeigt aber, dass Mathe kein "Raten" ist)

Interessant: da PQRST und PQRSTUVW saubere explizite Formeln ohne Fallunterscheidung sind und bereits im komplexen rechnen, können auch die Faktoren (das a vor a * x³ , x² usw.) komplex sein -> siehe Beispiele 21 und 22

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Alle, da du ja zum Beispiel x^3 nicht durch z=x^2 substituieren kannst.

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Kommentar von 420blazeitfeget
06.07.2013, 21:30

damit wäre das geklärt, danke. Aber was kann man dann bei einer ganz rationalen Funktion 4. Grades noch machen ? Etwa 2 Nullstellen durch Probieren finden und dann Polynomdivision ?

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; so kann man es auch machen.

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Kommentar von 420blazeitfeget
06.07.2013, 21:37

Es geht um Funktionen 4. Grades, nicht 3. Grades

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Es müssen alle Exponenten gerade sein ;)

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