Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Kurze Frage ( Sehr Simpel )

6 Antworten

Du hast 4 verschiedene Möglichkeiten mindestens 2xB zu erhalten.

(B;B;B),(B;B;A),(A;B;B) und (B;A;B)       Du musst jetzt einfach nur die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Möglichkeiten addieren:

P(mind.2xB) = 1/2x1/2x1/2 + 1/2x1/2x1/2 + 1/2x1/2x1/2 +1/2x1/2x1/2 = 4x1/8 = 1/2

Wenn man verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei den einzelnen Möglichkeiten hat wird das ganze etwas interessanter meiner Meinung nach. Wenn du es genauer erklärt haben willst würde ich dir http://www.schulminator.com/mathematik/wahrscheinlichkeiten#wahr_formeln empfehlen. Du kannst aber auch gerne mich fragen :P muss Wahrscheinlichkeiten sowieso wiederholen... brauch es für die 10. Klasse abschlussprüfung die bald ist und ich muss für mein Geschmack da noch zu lange überlegen...

Du hast 3 Versuche und 2 Möglichkeiten (A und B).

Beim 1.Versuch einer der beiden zu treffen liegt bei 1/2 = 0.5 = 50%

Wenn du zweimal hintereinander versucht, B zu treffen (ABB oder BBA) liegt die Wahrscheinlichkeit bei 1/2 × 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25%

Schlussgefolgert hast du eine Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander B zu treffen 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 = 0.125 = 12.5%

Beim 1.Versuch einer der beiden zu treffen liegt bei 1/2 = 0.5 = 50%

Die Einzelwahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A wird getroffen bzw. B wird getroffen sind in der Aufgabenstellung nicht angegeben. Die hier getroffene, vereinfachende Annahme, dass beide Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, ist daher nicht begründbar.

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass es B zweimal trifft.

Zunächst einige Vorbemerkungen:

A) Da hier nicht nach genau zweimal B gefragt wird, ist davon auszugehen, dass mindestens zweimal B gemeint ist.

B) Da weiterhin keine Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A wird getroffen bzw. B wird getroffen angegeben sind, kann man keinen exakten Wert für die Wahrscheinlichkeit des zu betrachtenden Versuchsergebnisses (mindestens zweimal B) erhalten. Statt dessen hängt diese Wahrscheinlichkeit von den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A wird getroffen und B wird getroffen ab. Diese werden im Folgenden mit P ( A ) bzw. P ( B ) bezeichnet.

C) Schließlich gehe ich davon aus, dass es neben A wird getroffen und B wird getroffen keine weiteren Versuchsausgänge gibt, dass also die Fälle sowohl A als auch B wird getroffen sowie weder A noch B wird getroffen nicht eintreten können.

Wegen C gibt es also bei jedem Wurf nur genau zwei Versuchsausgänge. Einen solchen Versuch nennt man einen Bernoulli-Prozess. Für diesen gilt die Bernoulli-Verteilung, welche besagt, dass bei einer Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg in einem Wurf die Wahrscheinlichkeit W ( n; k; p ) , bei n Würfen genau k Erfolge zu erzielen, wie folgt zu berechnen ist:

W ( n; k; p ) = ( n über k ) * p ^ k * ( 1 - p ) ^ ( n - k )

Als Erfolg wird hier das Ereignis B wird getroffen betrachtet, dessen Einzelerfolgswahrscheinlichkeit p = P ( B ) ist.

Vorliegend wird 3 mal geworfen, es gilt also n = 3. Von Interesse sind nun die Fälle, dass B genau zweimal ( k = 2 ) oder genau dreimal ( k = 3 ) getroffen wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B wird mindestens zweimal getroffen ist dann gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse B wird genau zweimal getroffen und B wird genau dreimal getroffen. Es gilt also:

P (B wird mindestens zweimal getroffen)

= P (B wird genau zweimal getroffen) + P (B wird genau dreimal getroffen)

= W ( 3; 2; P(B) ) + W ( 3; 3; P(B) )

= ( 3 über 2 ) * P(B) ^ 2 * ( 1 - P(B) ) ^ ( 3 - 2 )

+ ( 3 über 3 ) * P(B) ^ 3 * ( 1 - P(B) ) ^ ( 3 - 3 )

= 3 * P(B) ^ 2 * ( 1 - P(B) ) ^ 1 + 1 * P(B) ^ 3

= 3 * P(B) ^ 2 * ( 1 - P(B) ) + P(B) ^ 3

Setzt man hier nun für P(B) den Wert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B wird getroffen ein, so erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Nimmt man für das vorliegende Beispiel an, dass die Ereignisse A wird getroffen und B wird getroffen gleichwahrscheinlich sind, dann gilt für die Wahrscheinlichkeiten P(A) bzw. P(B):

P(A) = P(B) = 0,5

Setzt man dies in die berechnete Formel ein, dann ergibt sich:

P (B wird mindestens zweimal getroffen)

= W ( 3; 2; 0,5 ) + W ( 3; 3; 0,5 )

= 3 * 0,5 ^ 2 * ( 1 - 0,5 ) + 0,5 ^ 3

= 3 * 0,5 ^ 2 * 0,5 + 0,5 ^ 3

= 3 * 0,5 ^ 3 + 0,5 ^ 3

= 4 * 0,5 ^ 3

= 0,5

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen B mindestens zweimal getroffen wird beträgt also 50 %.

Sollte hingegen entgegen der Vorbemerkung A) die Wahrscheinlichkeit gesucht sein, dass bei drei Würfen B genau zweimal getroffen wird, dann beträgt diese Wahrscheinlichkeit:

P (B wird genau zweimal getroffen) = W ( 3; 2; 0,5 )

= ( 3 über 2 ) * 0,5 ^ 2 * ( 1 - 0,5 ) ^ ( 3 - 2 )

= 3 * 0,5 ^ 2 * 0,5 ^ 1

= 3 * 0,5 ^ 3

= 0,375

also 37,5 %.

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