Stochastik Bernoulli Kette?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Du rechnest aus, wann die Wahrscheinlichkeit nur brauchbare Nägel zu erwischen unter 50% fällt...
Formel: (n über k) * p^k * q^(n-k) < 0,5
"alle Nägel brauchbar", bedeutet, dass n=k ist, und das bedeutet (n über k)=1 und q^(n-k)=q^0=1; [p=0,8]
ergibt:
0,8^k<0,5                  |ln
k * ln(0,8) < ln(0,5)    |:ln(0,8)   [ist <0, daher wechselt Ungleichheitszeichen]
k>3,106
d. h. bei Prüfung von 4 Nägeln ist mit über 50% Wahrscheinlichkeit mindestens ein unbrauchbarer dabei

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Diese Aussage kannst du nur durch ausprobieren lösen.

Erstmal bedeutet "wenigstens 1" ja 1 oder mehr. Das Komplementärereignis ist ja "0 unbrauchbare Nägel".

Und die Wahrscheinlichkeit von "1 oder mehr unbrauchbaren Nägeln" auszurechnen, ist auf jeden Fall mit mehr Aufwand verbunden, als die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "0 unbrauchbare Nägel" zu berechnen.

Man müsste bei "1 oder mehr" nämlich die Bernoulli-Formel mehrmals anwenden und die Wahrscheinlichkeiten addieren.
Bei "0 Nägeln" hingegen muss man sie nur einmal anwenden und dann das Ergebnis von 1 abziehen, damit man P (mind. 1 unbrauchbarer Nagel) hat.

Das geht deswegen, weil:
Gesucht ist ja: P (mind. 1 unbrauchbarer Nagel)

Und es gilt ja folgender Zusammenhang:
P (mind 1 unbrauchbarer Nagel) + P (0 unbrauchbare Nägel) = 1. (Das sind halt Komplementärereignisse).

Daher auch P (mind. 1 unbrauchbarer Nagel) = 1 - P (0 unbrauchbare Nägel).

So und jetzt musst du einfach ausprobieren, wie groß die Anzahl der Durchgänge sein muss, damit P (mind. 1 unbrauchbarer Nagel) 50 % übersteigt.

Du fängst mit einer bestimmten Anzahl an. Wenn dann P (mind. 1 unbrauchbarer Nagel) < 50 % ist, dann versuchst du es mit einer größeren Anzahl. Wenn du über 50 % bist, versuchst du wieder mit der nächstkleineren Anzahl, solange bis du weißt, ab welcher Anzahl die 50%-Grenze überschritten ist.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Willy1729
27.02.2017, 20:31

Hier brauchst Du nicht zu probieren, sondern kannst über die Gegenwahrscheinlichkeit (die Du ja auch vorgeschlagen hast) die Mindestanzahl berechnen.

Siehe Antwort von NoTrolling.

Herzliche Grüße,

Willy

1

1-0,8^x>=0,5

x>=ln(1-0,5)/ln(0,8)=3,1   -> x=4

0,8^x ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach x Versuchen kein unbrauchbarer Nagel gefunden wird, 1-0,8^x ist die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass mindestens einer gefunden wird. 

Deser Wert muss größer oder gleich der WSL 0,5 sein. Der Rest ist nur noch Algebra.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

das musst du mit der Gegenwahrscheinlichkeit machen;

also 1 - (k=0)

Bernoulli  k=0 und p=0,2 und n

1 - ( (n über 0) • 0,2^0 • 0,8^n) > 0,5

1 - ( 1 • 1 • 0,8^n) > 0,5

1 - 0,8^n > 0,5

0,8^n < 0,5       jetzt loarithmieren

n • log 0,8 < log 0,5

n > 3,106

also

muss man

4 Nägel mindestens prüfen

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?