Stochastik: Bedingte Wahrscheinlichkeit

...komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Ziegenproblem in der Noobvariante halt.

Wo liegt dein Problem?

lilaluluk 13.03.2014, 22:24

Ich verstehe nicht, wieso seine Chance auf 99/100 gesteigert wird. Meiner Meinung nach, ist die Wahrscheinlichket, dass hinter einer der beiden Türen ein Auto steht, doch gleich oder?

0
Drainage 13.03.2014, 22:36
@lilaluluk

Du verwechselst das Problem mit einem anderen: Du suchst dir eine Türe aus. Der Spielleiter sucht sich eine Türe aus. Die anderen 98 Türen werden dann geöffnet und ZUFÄLLIGERWEISE sind hinter allen Ziegen, obwohl dort auch das Auto hätte stehen können. Dann sind die Chancen bei beiden Türen (deine und die des Leiters) gleich.

Aber hier ist das nicht so! Du suchst dir eine Türe aus und der Spielleiter hat quasi alle anderen inne! Er öffnet von seinen 99 die 98 mit den Ziegen und eine bleibt ihr übrig. Sagt dein Instinkt dann wirklich, dass die Chancen bei euch beiden gleich stehen!? Wohl kaum. Die Tür des Spielleiters hat die aufsummierte Wahrscheinlichkeit auf das Auto von sich selbst und allen geöffneten Türen. (1+98)/100 = 99/100

Falls du es mathematisch sauber haben willst, viel Spaß beim Lesen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

2
lilaluluk 13.03.2014, 22:43
@Drainage

Vielen Dank für deine Hilfe, ich habe es endlich verstanden :))

0

Beobachtung 1. Es gilt in allen Fällen: das Auto steht hinter entweder der erst gewählten Tür oder der nach dem Ausschluss anderen übrig gebliebenen Tür.

Definitionen.

Es sind n ≥ 3 Türe vorhanden. Sei:

  • A :: Auto steht hinter erst gewählte Tür.
  • W :: man wechselt auf die andere übrig gebliebene Tür.
  • G :: man wählt die richtige Tür (und also gewinnt das Auto).

Beobachtung 2.

  • P(A) = 1/n
  • P(~A) = 1–P(A) = 1–1/n
  • P(G|W & A) = 0 und P(G|~W & A) = 1
  • P(G|W & ~A) = 1 und P(G|~W & ~A) = 0

Berechnung.

Daraus ergibt sich:

  • P(G|W) = P(A)·P(G|W & A) + P(~A)·P(G|W & ~A) = (1/n)·0 + (1–1/n)·1 = 1/n (=0,01)
  • P(G|~W) = P(A)·P(G|~W & A) + P(~A)·P(G|~W & ~A) = (1/n)·1 + (1–1/n)·0 = 1–1/n (=0,99)

Also P(G|~W) > P(G|W) für alle n ≥ 3, weshalb nach einem Wechsel besser mit einem Gewinn rechnen kann — sprich, man sollte wechseln.

Des Weiteren gilt P(G|~W) : P(G|W) = n–1 : 1 also 99 : 1.

lilaluluk 16.03.2014, 16:26

Wow, vielen Dank für die ausführliche Erläuterung :)

1

Die Schlußfolgerungen im 2.Abschnitt sind falsch! Zuerst hat er die Wahrscheinlichkeit von 1/100. da aber nach Öffnung von 98 Türen dort nur Ziegen sind, verbleiben 2 Türen. die Wahrscheinlichkeit auch bei Wechsel sind damit 50%!

lilaluluk 13.03.2014, 22:29

Genau das hat mich nämlich auch gewundert und ich bin derselben Meinung wie du!

0
Drainage 13.03.2014, 22:32

Sorry, aber das ist völliger Quatsch.

2
FataMorgana2010 14.03.2014, 16:21

Die Schlussfolgerungen sind völlig richtig und die Wahrscheinlichkeit ist eben nicht in beiden Fällen 50%.

0

Naja also da nurnoch 2 Türen übrig bleiben, ist die Wahrscheinlichkeit eben 99/100 dass er das Auto bekommt.. eigentlich könnte man auch 50/50 schreiben, aber ich hoffe du hast verstanden was ich meine.^^

Drainage 13.03.2014, 22:20

Was meinst du mit 50/50?

0
lilaluluk 13.03.2014, 22:26

Das ist ja genau mein Problem. Für mich haben beide Türen die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wie kann man behaupten, die Whrscheinlichkeit für die 2. Tür sei 99/100?

0
Ech02013 13.03.2014, 22:30
@lilaluluk

Es geht eigentlich nur um die Formulierung, es haben beide Türen dieselbe Wahrscheinlichkeit, nur schreiben die dann dass die Wahrscheinlichkeit 99/100 beträgt statt 50/50..

0
nikolaiki 15.03.2014, 15:34
@lilaluluk

Der Kniff liegt in der Formulierung der Spielregeln: Der Moderator schaut zuerst nach und öffnet dann die Türen, hinter denen sich kein Gewinn befindet. Wir profitieren also vom Wissen des Spielleiters.

Anders waere es wenn wahllos 99 Tueren geöffnet werden. Wurde bis dahin kein Gewinn gefunden, ist die Chance für die verbleibenden 2 Tueren in der Tat fifty/fifty.

Ich schlage folgende Abwandlung des Spiels vor: wir bekommen 2 Tueren und der Moderator ebenfalls. Jetzt zwingen wir den Moderator nach obigem Muster eine seiner 2 Tueren zu öffnen. Ist es jetzt küger auf die verbleibende Tür des Moderators zu setzen oder nehmen wir eine von unseren Türen?

0
UlrichNagel 13.03.2014, 22:27

50 zu 50, Fifti - Fifti oder 50%

0
FataMorgana2010 14.03.2014, 16:20
@UlrichNagel

Nein, die Wahrscheinlichkeit ist nicht 50:50. Es ist besser, die Tür zu wechseln. Das ist ein wunderbares altes Problem, genannt Ziegen- oder Monty Hall-Problem. Stell dir vor, in dem Moment, in dem der Moderator die Türen aufmacht, fällt dir die Brille runter und du kannst nichts mehr sehen... würdest du dann immer noch sagen, dass es egal ist, ob du wechselst oder nicht?

0
kreisfoermig 16.03.2014, 15:47
@UlrichNagel

Nein. 99 : 1. Oder genauer: W-keit ist 0,99 wenn man die Türe wechselt und 0,01 wenn man nicht wechselt.

0

Was möchtest Du wissen?