Stimmt es dass eine ganzrationale Funktion 5. Grades entweder eine, drei oder fünf Nullstellen besitzt und einer andere Anzahl nicht in Frage kommt?

2 Antworten

Ich kenne es noch so, dass eine ganzrationale Funktion maximal so viel Nullstellen hat wie dessen Grad. Also ein 5. Grades hat maximal 5 Nullstellen.

Dass es aber eine, drei oder fünf Nullstellen haben muss denke ich ist nicht richtig.

Bsp:

f(x) = (x+1)*(x+2)^4

Hat 2 Nullstellen.

Vielleicht sollte man besser sagen, daß die x-Achse nur ein-, drei- oder fünfmal geschnitten werden kann.

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Hallo,

f(x)=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5) ist ganzrational fünften Grades und hat die fünf Nullstellen

x=1; 2; 3; 4; 5.

Da hat Dir jemand Blödsinn erzählt.

Herzliche Grüße,

Willy

Das ist ja ein Beispiel das der Aussage des FS nicht widerspricht

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@LeroyJenkins87

Du hast recht.

Man könnte natürlich (x-1)²*(x-2)*(x-3)*(x-4) mit den vier Nullstellen 1;2;3;4 ins Feld führen. Hier sind es nur vier Nullstellen, wenn man die erste nicht doppelt zählt.

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Ich korrigiere meine Aussage. Wenn man mehrfache Nullstellen mehrfach zählt, kommt man tatsächlich auf 1, 3 oder 5 Nullstellen.

Eine muß es mindestens sein, da die x-Achse auf jeden Fall einmal geschnitten werden muß. Zwei wären es bei f(x)=(x-1)³*(x-2)², wobei die x-Achse einmal berührt und einmal geschnitten wird. Allerdings muß man die erste Nullstelle dreifach, die andere doppelt zählen, so käme man wieder auf 5.

Zwei oder viermal schneiden ohne Mehrfachnullstelle geht tatsächlich nicht, da die Funktion entweder bei -unendlich beginnt und bei +unendlich aufhört oder umgekehrt.

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@Willy1729

Wenn man mehrfache nullstellen zählt, kommt man aber immer auf genau 5 bei 5. Grad. Die Aussage wäre dann trivial

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@pixeldef

Kommst Du nicht. Bei einer doppelten könnte es auch nur drei geben.

Zwei für die doppelte, eine für das Schneiden der x-Achse. Danach könnte der Rest des Graphen oberhalb oder unterhalb der x-Achse bleiben.

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@Willy1729

Wenn man ein Polynom 5. grades hat, so kann man es immer in 5 Radikale aufgeteilt werden. Aus diesen Radikalen kann man genau die 0Stellen ablesen. xFache 0-Stellen sind Radikale die X-Fach vorkommen. Insgesamt aber immer genau 5. Also ist die Aussage, dass ein Polynom 5. Grades immer genau 5 NST hat beim mitzählen von merhfachen NST immer wahr. Außerdem hätte so ein Polynom 5. grades immer genau 5 NST und niemals eine oder 3.

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