Stellenwertsysteme Umrechnen?

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Also es gibt allgemein folgenden Algorithmus, um eine Zahl z, die in Basis p dargestellt wird, zur Basis q umzuwandeln:

Teile die Zahl z mit Rest durch q. Du erhälst somit eine Ganze Zahl n und ein Rest 0<=r<q, sodass z=n*q=r gilt.

r ist dann die letzte Ziffer (also die die am weitesten rechts steht) Deiner Zahl in der neuen Basis.

Wechsle nun z mit n aus und wiederhole die Schritte mit dem neuen z, bis es 0 ist. Dabei erhälst du die Ziffern der Zahl von rechts nach links.

Damit kann man je nach Zahlensystem die Zahlen einfacher umwandeln:

Falls nämlich q=p^n für eine natürliche Zahl n gilt, kann man den Divisionsrest immer ablesen, da der Rest die Letzten n Ziffern der Zahl in der Basis p sind. Du musst somit einfach nur die Zahl von rechts nach links in Blöcken aufteilen, sodass jeder Block b Ziffern enthält (der Block ganz links kann weniger enthalten). Dann wandelst du jeden dieser Blöcke in die Ziffer der Basis q um und erhälst damit die Zahl in der Basis q. (Dafür musst du aber die Blöcke vorher in Dezimalzahlen umwandeln)

Das ist zum Beispiel der Fall, wenn p=4 und q=16 gilt, da 4^2=16 (somit brauchst du 2er Blöcke)

Wenn du zum Beispiel die Zahl 30123 im 4er System hast, bekommst du folgende Zwischenschritte:

Blöcke bilden:

(3) (01) (23)

Blöcke in Dezimalzahl umwandeln:

(3) (1) (11)

Dezimalzahlen in Hexadezimalziffern umwandeln:

31B

Somit ist die Zahl als Hexadezimalzahl 35B.

Ähnlich funktioniert es auch, wenn p=q^n ist, dann musst du stattdessen jede Ziffer in ein n Zahlenblock des anderen Systems umwandeln. Du musst dann die Schritte von Beispiel von unten nach oben durchführen.

Wenn keiner der beiden Fälle gilt, kann man den Algorithmus natürlich auch anwenden, nur muss man dann mehr rechnen da man die Ziffern nicht mehr direkt ablesen kann, weswegen es sinnvollere ist, die Zahl zuerst als Dezimalzahl umzuwandeln (am effizientesten mit dem Horner Schema) und danach erst in die andere Basis. (Das dann mit dem Algorithmus, da man ja mit Dezimalzahlen wie gewohnt rechnen kann)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathe Studium mit Nebenfach Informatik (5. Semester)

Vom 4er ins Hexadezimalsystem geht ohne Umweg über das Dezimalsystem einfacher, da jeweils 2-Viererstellen eine Hexstelle bilden:

00 01 02 03 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  A  B  C  D  E  F

Müssen wir nicht, aber da wir Menschen sind, fällt es so wesentlich leichter.

Woher ich das weiß:Beruf – Programmierer

Im Grunde willst du ein Zwischenergebnis irgendwie merken. Zum Merken von Dingen benutzt du ein Leben lang schon das Dezimalsystem. Der Informationsgehalt der Zahl im 4er System ist genauso hoch, aber du kannst damit schlecht rechnen, weil du das noch nie gemacht/gelernt hast.

Ein Computer z.B. benutzt aber für solche Umrechnungen kein Dezimalsystem.

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