Steigung/erste Ableitung?

7 Antworten

Angenommen ich fahre mit 50 km/h und möchte meine Strecke durch eine lineare Funktion beschreiben, also

y = 50x.

Bei diesem Beispiel ist es vielleicht sinnvoller, die Variable als t zu bezeichnen und hier physikalisch zu arbeiten, also mit Maßeinheiten zu operieren.

Den Funktionswert können wir weiterhin als y, aber ebenso als x oder s (steht meist für die zurückgelegte Strecke) bezeichnen, also, wenn man es ganz genau nimmt,

(1.1)   x(t) = x(0) + v·t,

wobei v natürlich hier für die 50km/h≈14m/s steht, mit denen Du fährst (ich habe in m/s umgerechnet, weil das die SI-Einheit ist.

Außerdem wird sobald Beschleunigung ins Spiel kommt, km/h als Geschwindigkeitseinheit äußerst unpraktisch).

Die Größe x(0) bezeichnet die Position (den Kilometerstein), wo Du zum Zeitpunkt t=0 bist. Natürlich kannst Du dies gleich 0 setzen, um (1) zu vereinfachen.

Wenn Du x(t) in km und v in km/h misst, musst Du konsequenterweise t in h messen, und erhältst die Einheiten-Gleichung

(1.2)    x[km] = 50km/h·t[h],

also beispielsweise mit konkret t=½h

(1.3)    x(½h) = 50km/h·½h = (50/2)km = 25km.

Wenn Du das nach t ableitest, bekommst Du gerade

(2)    ẋ ≡ dx/dt = v = 50km/h.

Dass die Geschwindigkeit konstant ist, hast Du ja schon am Anfang geschrieben.

In einem t-x-Diagramm (unten links) ist das die Steigung, und zusammen mit dem Lot auf der x-Achse und dem Abschnitt auf ihr ergibt das ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Höhe x darstellt:

Halbe Grundseite bei gleicher Steigung = halbe Höhe.

In einem t-v-Diagramm (links oben) ist die Steigung a=0, und in der Höhe v zieht sich eine Parallele zur t-Achse, die mit deren entsprechendem Abschnitt ein Rechteck bildet, und x entspricht dessen Fläche:

Halbe Grundseite bei gleichem = halbe Fläche.

Auf der rechten Seite ist die Situation für gleichförmige Beschleunigung dargestellt.

Veranschaulichung als Zeit-Geschwindigkeits- bzw. Zeit-Weg-Diag - (Schule, Mathematik, Gleichungen)

Wenn du eine Steigung von 50 hast, ist sie auch in jedem Punkt einer Geraden   = 50,
denn es ist kein x zu sehen, mit dem es man es multiplizieren könnte.

Auch für   x = 0,5   ist    m = 50.

Bei allen Funktionen außer linearen ist es anders.
Die Ableitung von  2x²  ist  m = 4x  
von 0,5x³  ist                    m = 1,5x²

Du hast also jedes Mal etwas zu multiplizieren an der Stelle x.
Und das Ergebnis ist jedes Mal anders, weil ja die Tangentensteigungen auch tatsächlich in jedem Punkt verschieden sind,

bei Geraden aber nicht.

Die Steigung ist als Ergebnis eine Zahl - ABER: die Steigung ist ja die realtive Veränderung von y-Wert und x-Wert, auch Differentialqouotient genannt (Quotient ist das Ergenis einer Division!) → dy/dx = y’

Bei einer Zeit-Weg-Funktion ist die Zeit auf der x-Achse, der Weg auf der y-Achse → die Geschwindigkeit km/h ist ident mit dy/dx=y’

Wenn du eine halbe Stunde brauchst für 25km, dann ist eben die Geschwindigkeit 25km/0,5h = 50 km/h

Das Paradoxon (wodurch dein Denkfehler entsteht) ist:

  • die Steigung an sich hat keine Dimension!sie ist ja der Quotient aus einem x-Wert und einem y-Wert → im Koordinatensystem sind beides Längen - diese kürzen sich weg
  • bei einer Zeit-Weg-Funktion wird die Zeit auf der x-Achse aufgetragen - also als "Länge" dargestellt → in der Praxis ist die Zeit aber keine Länge, sondern eben "Zeit"
  • daraus ergibt sich
    • mathematisch: y’ = 50  ..... ohne Einheit
    • Realität: v = 50km/h

Ich hoffe, ich habe dich nicht noch mehr verwirrt 😊

Nachtrag: ich würde es nicht als "Denkfehler" bezeichnen, sondern als berechtigte Verwirrung, weil du nachdenkst und gemerkt hast: "Ups, da passt was nicht"

Aber genauso funktioniert "Lernen" 😎

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