Stehe ich richtig in der Annahme, dass es für jede Gleichung mit mindestens einer Variablen eine (wenn auch komplizierte) analytische Umformung gibt/geben muss?

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8 Antworten

Wenn die Gleichung eine nicht-analytische Funktion enthält, hast du in der Regel keine Chance.

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Kommentar von Willibergi
11.08.2016, 13:17

Soll das heißen, eine Gleichung wie xcos(x) = 1/2 kann nicht nach x umgeformt werden?

Wenn dem so wäre, wäre ich aber baff.

LG Willibergi

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Wenn du meinst, dass durch Äquivalenzumformungen eine Variable isoliert werden kann: Nein, das ist nicht so!

Beispiel: x·2^x=1 → es ist nicht möglich, die Gleichung in "x=eine Zahl" umzuwandeln (aber es gibt Methoden, um die Lösung - näherungsweise - zu bestimmen, hier: x=0,641186...mit WolframAlpha berechnet)

Wenn du auch "Umwege" zur Berechnung nimmst wie diverse Näherungsverfahren oder Reihenentwicklung, dann könnte ich mir ein "Ja" vorstellen - allerdings habe ich nicht Mathe studiert, sodass ich das mit Sicherheit behaupten kann)

Bei mehr als einer Variablen bin ich eher skeptisch - aber siehe voriger Absatz.

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Eine Gleichung fünften Grades ist in der Regel nicht analytisch lösbar, solche Dinge sind Thema der Galois-Theorie, siehe in diesem speziellen Fall den Satz von Abel-Ruffini.

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Umformung mit welchem Ziel?

Umformung ja, aber nicht zwingend eine analytische Lösung.

Soviel ich weiss, kann man die drei ganzzahligen Lösungspaare für

x^y = y^x

nicht analytisch finden.

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Nein

Wenn man öfter mal was mit Fixpunktiterationen zu tun hat, dann stößt man ziemlich schnell auf solche Fälle.

Beispiele -->

x = sin(x)

ln(x) = e ^ (x)

Es ist nicht möglich nach x aufzulösen, was nicht bedeutet dass es keine Lösungen gibt.

Dasselbe lässt sich auch auf mehrere Variablen verallgemeinern -->

x * y = sin(x * y)

x ^ y = arctan(x * y)

ln(x * y) = e ^ (x * y)

Es ist nicht möglich analytisch nach einer Variablen aufzulösen, sorry.

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Nein, es ist nicht immer möglich eine explizite Auflösung nach einer Variablen als analytischen Ausdruck hinzuschreiben.

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Meines Wissens nach: Nein.

Wenn durch eine Gleichung eine implizite Funktion gegeben ist, kannst du diese nicht durch eine (!) andere Gleichung nach einer der beiden Variablen wiedergeben.

Z.B. x^2+y^2=1 -> x= (1-y^2)^(1/2) aber auch x= - (1-y^2)^(1/2)

Oder meinst du was anderes? ^^

In solchen Fällen könntest du die Gleichung (soweit ich weiss) höchstens abschnittsweise als Funktion nach einer Variable wiedergeben.

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Kommentar von Willibergi
11.08.2016, 11:43

Für x² + y² = 1 ist es ja nicht wirklich schwer, nach einer der Variablen umzuformen.

x = ±√(1 - y²)

y = ±√(1 - x²)

Kein großes Ding.

Die Frage ist nun, ob eine Umformung nach einer Variablen bei jeder erdenklichen Gleichung möglich ist.

Als Beispiel habe ich xcos(x) = 1/2 vorliegen.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Gleichung nur numerisch gelöst werden kann.

LG Willibergi

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Umformungen gibt es immer. Du kannst immer etwas hinzufügen oder anders schreiben.

Vereinfachen geht jedoch nicht immer. Das ist ein logisches Spiel. Wäre eine solche Gleichung immer weiter vereinfacher, dann würde man über den trivialsten Fall f(x,y)=x+y hinauskommen.

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Kommentar von Willibergi
11.08.2016, 11:14

"Umformungen gibt es immer."

Damit sind Umformungen nach einer Variable gemeint.

LG Willibergi 

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Kommentar von einfachsoe
12.08.2016, 23:30

Ach so...

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