Steckbriefaufgaben mit Bogendiagonalen

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2 Antworten

hast du uns die Lösung bzw die Anleitung vorenthalten?

Parabel nach unten geöffnet; mit (0/135) und Nullstelle bei Hälfte der Diagonale der Grundfläche?

Was meinst du mit "vorenthalten"

Okay, so kann ich verschiedene Bedingungen aufstellen. Aber bekomme ich so auch die Länge heraus?

Danke schonmal für die schnelle Antwort!

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@Marius05

hast du die Lösung und Anleitung unten auf dem Zettel stehen? Und nach der Länge der Stangen ist doch nicht gefragt.

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Ich löste die Aufgabe auf zwei Wegen, mit zweimal dem gleichen - höchst seltsamen - Ergebnis.

Wohl niemand würde so eine Zeltstange konstruieren. Falls ich nicht danebenliege, ist da trotzdem die Lösung der Aufgbe. Allerdings enthält der Aufgabentext einige Druckfehler; vielleicht ist auch eine Angabe zur Voraussetzung falsch.

  • h = Höhe des Zeltes
  • d ist das √2- fache der Seitenlänge der Grundfläche, weil diese ein Quadrat ist.

  • Betrachte eine Ebene, die den Kreuzungspunkt M der Stangen und eine Diagonale d der Grundfläche enthält.
  • Die x-Achse eines x,y-Koordinatensystems enthält d,
  • der Ursprung ist der Fußpunkt des Lotes von M auf die x-Achse.

Die gebogene Stange folgt

  • einer einfachsten ganzrationalen Funktion f,
  • die den Punkt M (0 | h ) enthält;
  • f soll eine Nullstellen bei ( d/2 | 0 ) haben (dort berührt die Stange den Boden),
  • Die Steigung von f in dieser Nullstelle soll k = - tan (76°) sein.

Eine solche (möglichst einfache) Funktion ist eine Parabel und hat die Form

f(x) = - a(x - d/2)(x -b),

wobei b die zweite Nullstelle ist. Für x = 0 hat die Parabel den Wert h, also:

f(0) = -abd/2 = h ⇔ ab = -2h/d, da d ≠ 0 (Division erlaubt); (1)

Die Ableitung (am einfachsten mit Produktregel)...

f'(x) = -a(2x - b -d/2)

... soll für x = d/2 den Wert k = -tan(76°) annehmen, also:

f'(d/2) = -a((d/2) -b) = -ad/2 +ab = k; (2)

(1) in (2) einsetzen:

-a d/2 - 2 h/d = k ⇒ a ≈ 0,0201

in (1) eingesetzt ergibt nach Umformung: b ≈ -44,657;

a und b in die Form der Parabel einsetzen und ausmultiplizieren:

f(x) = -0,0201x² +2,21501x +139

Das Blöde ist nur, dass der Scheitel dieser (nach unten geöffneten) Parabel zwischen y-Achse und positiver Nullstelle liegt. In die Senke zwischen den vier höchsten Stellen eines so konstruierten Zeltes würde sich jeder Niederschlag & Dreck sammeln ... so ein Quatsch.


Anderer Weg:

Für die Ableitung der gesuchten Funktion gilt:

f'(d/2) = k = - tan(76°)

Da ihre Stammfunktion die gesuchte Funktion ist, gilt:

∫ f'(x) dx = 0 - h = -h , Integralgrenzen sind 0 und d/2;

Verschiebe ich zur Vereinfachung der Rechnung die Ableitung um d/2 nach links, so gilt für die verschobene Ableitung g':

g'(0) = k

∫ g'(x) dx = -h , Integralgrenzen sind -d/2 und 0

Die einfachste Möglichkeit für ein ganzrationale Funktion ist dann:

g'(x) = ax + k

Für das Integral gilt per Stammfunktion:

[ax²/2 + kx](-d/2, 0) =

-( a(-d/2)²/2 + k(-d/2) ) = -h

also hat a den Wert:

a = ( 4(dk+2h) )/d²;

eingesetzt:

g'(x) = ( (4 (dk+2h))/d² ) x +k;

Rückverschiebung um d/2 nach rechts:

f'(x) = ( (4 (dk+2h))/d² )(x -d/2) +k = 8hx/d² -4h/d +4kx/d -k

Integration:

f(x) = 4hx²/d² -4hx/d +2kx²/d -kx +Konstante

Die gesuchte Funktion hat bei x = 0 den Wert h:

f(x) = 4hx²/d² -4hx/d +2kx²/d -kx +h

Nach Einsetzen der Werte für h, d und k kommt bis auf Rundungsfehler des ersten Weges wieder die gleiche seltsame Funktion heraus, nur genauer:

f(x) = -0,0201037x² +2,21558x +139

Vielen lieben Dank für die Antwort! Hast mir sehr geholfen!

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