Steckbrief Aufgabe( x als Tagente)?

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Hi,

Erstmal fangen wir ganz allgemein an: Eine Funktion vierten Grades folgt der Gleichung

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx +e.

Du brauchst also, wie du schon gesagt hast, fünf Gleichungen.

Dazu ist es hilfreich, sich die Ableitungen zu notieren:

f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f''(x) = 12ax² + 6 bx + 2c.

Folgende Informationen hast du gegeben:

  • Im Ursprung liegt der Wendepunkt.
  • Die x-Achse ist die Tangente.
  • In W(1|-1) liegt ein weiterer Wendepunkt.

Schauen wir uns die erste Aussage genauer an: Im Ursprung liegt der Wendepunkt. Das heißt erstmal, dass e = 0 sein muss, da die Funktion durch den Ursprung O(0|0) verläuft. Bleiben noch vier Gleichungen.

Wenn dort ein Wendepunkt liegt, gilt:

f'(0) = 0

f''(0) = 0

Einsetzen ergibt:

d = 0

c = 0

Da jetzt d und c Null sind, vereinfachen sich unsere Gleichungen zu:

f(x) = ax^4 + bx³

f'(x) = 4ax³ + 3bx²

f'(x) = 12ax² + 6bx

Nun liegt in W(1|-1) ein weiterer Wendepunkt.

Wir haben also f(1) = -1:

-1 = a + b

Es gilt zudem f'(-1) = 0:

0 = 4a(-1)³ + 3b(-1)² => 0 = -4a + 3b

Und es gilt f''(-1) = 0:

0 = 12a + 6b

Die letzte Gleichung formen wir nach b um:

b = 2a

Das setzen wir in die erste Gleichung ein:

-1 = a + 2a

-1 = 3a

a = -1/3

Und das können wir in b einsetzen:

b = -2/3.

Die Gesamtgleichung lautet also, wenn ich mich nicht verrechnet habe:

f(x) = -1/3*x^4 - 2/3 x³.

LG

Woher ich das weiß:Hobby – seit der Schulzeit, ehemals Mathe LK

f(x)=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f'(x)=4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f''(x)=12ax^2 + 6bx + 2c

f'''(x)=24ax + 6b

Steigung im Punkt [0,0] = 0

f(0) = 0 -> e = 0

f'(0) = d -> d = 0

Bedingungen für Wendepunkt bei x: f''(x) = 0 und f'''(x) != 0

Wendepunkt im Punkt [0,0]

f''(0) = 2c = 0 --> c = 0

f'''(0) = 6b != 0 --> b!=0

Wendepunkt im Punkt [1,-1]

f(1) = a + b = -1

f''(1) = 12a + 6b = 0

f'''(1) = 24a + 6b != 0

Lösung a = +1, b = -2, c = 0, d = 0

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