Standardabweichung von drei Mittelwerten mit eigener Standardabweichung?

2 Antworten

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Man schreibe Zufallsvariable groß. Ich nenne deine Zufallsvariable X, Y, Z und deren „Mittelwerte“ (Erwartungswerte) 𝔼[X], 𝔼[Y], 𝔼[Z].

Kurz gesagt gilt:

Var((X+Y+Z)/3) = 1/3²·(
Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
+ 2·(Cov(X,Y)+Cov(X,Z)+Cov(Y,Z))
)

Hierbei ist Cov(X,Y) die Kovarianz berechnet durch 𝔼[(X-𝔼[X])·(Y–𝔼[Y])]. Falls X,Y,Z paarweise unabhängig sind, so gilt Cov(X,Y)=Cov(X,Z)=Cov(Y,Z)=0 und in diesem Falle gilt sogar:

Var((X+Y+Z)/3) = 1/3²·(
Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
)

Diese Rechnungen ergeben sich aus den u. s. Ergebnissen.

Frage. Sind die Zufallsvariablen (deine a, b, c) paarweise unabhängig? Z. B. handelt es sich um Laplace-Versuche?

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Allgemein gültige Ergebnisse…

Satz 1. Sei X eine L²-Zufallsvariable und s eine Skalar. Dann gilt Var(s·X)=s²·Var(X). ⊣

Satz 2. Seien X, Y L²-Zufallsvariable. Dann gilt Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2·Cov(X,Y). ⊣

Folgerung. Seien X[i], i<n L²-Zufallsvariable. Dann gilt Var(∑X[i]) = ∑Var(X[i]) + ∑Cov(X[i],X[j]), wobei letzteres ist die Summe über alle Indizes mit i≠j. ⊣

Hmm, schwer zu verstehen für mich.

Aber da alle Stichproben unabhängig voneinader sind könnte ich diese Formel benutzen?

Ich müsste praktisch vorher die Standardabweichung quadrieren, da diese ja die Wurzel der Varianz ist, oder?

Var((X+Y+Z)/3) = 1/3²·(
Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
)
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@Lurando

1. wenn alle zugrunde liegenden Beobachtungen in den Stichproben sowie zwischen den Stichproben paarweise unabhängig sind, dann  ja: X, Y, Z (deine a, b, c) sind paarweise unabhängig.

2. Genau: Varianz = std. Abw.²

3. beachte, dass, wenn du die Standardabweichung, σ, der zugrunde liegenden zu beobachtenden Variablen kennst, solltest du einfach berechnen Var(Mittelwert von Mittelwerten) = σ² / 3n, wobei n = Größe der jeweiligen Stichproben. (Du wirst sehen, dass dasselbe rauskommt, nur sparst du dir dadurch eben viel unnötige Mühe.) Denn im Allgemeinen gilt:

Satz 3. Sei Q eine L²-ZV und beobachte m paarweise unabhängige Vorkommnisse Q[0], Q[1], …, Q[m–1] mit Q[i] ~ Q für alle i. Dann gilt

Var(Mittelwert) = Var(∑Q[i]/m)
= (∑ Var(Q[i])) / m²
= (m·Var(Q)) / m²
= Var(Q) / m. ⊣

(Du hast insgesamt m = 3n Beobachtungen.)

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Ein Messwert hat keine Standardabweichung. Eine Standardabweichung kann  nur eine Messwertreihe haben.

Ich dachte mir es ginge aus der Beschreibung hervor. Natürlich sind es Messwertreihen, die zu einem Messwert zusammengefasst sind. Sonst könnte man ja schwer eine Standardabweichung dazu haben.

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@Lurando

Die Standardabweichungen mitteln kannst du jedenfalls nicht. Wenn überhaupt, dann macht nur die Ermittlung der Standardabweichung aller Werte einen Sinn.

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