Stammfunktionen bilden, Probleme!

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2 Antworten

Naja, bei den meisten Potenzfunktionen der Form x^k hat die zugehörige Stammfunktion ja die Form

1 / (k + 1) * x^(k + 1) [bis auf eine etwaige additive Konstante]. So ist zum Beispiel die Stammfunktion von x^5 gerade 1/6 * x^6, wie man durch Ableiten leicht verifiziert.

Nun gibt es einen Spezialfall, nämlich den Fall k = -1. Wenn ich hier die Regel anwenden wollte, käme ich auf

1 / (-1 + 1) * x^(-1 + 1), also auf 1/0. Aber seit der Grundschule weiß man, dass man lieber nicht durch 0 teilen sollte.

Wie also berechne ich die Stammfunktion zu der Funktion f(x) = 1/x?

Man kann wie im Buch zeigen, dass sie gerade ln (|x|) ist, wobei "ln" für "logarithmus naturalis", also den natürlichen Logarithmus steht.

Die Gleichung ∫ 1/x dx = ln(|x|) hilft uns bei den Aufgaben weiter. Dank der Linearität des Integrals gilt nämlich:

1) ∫ -1/x dx = - ∫1/x dx und

2) ∫ 4/(2x + 10) dx [vorausgesetzt, der ganze Term 2x + 10 steht im Nenner]

= 4 * ∫ 1 / (2x + 10) dx [Wähle z = 2x + 10, damit ist dz = 2dx]

= 4 * ∫1/z * 1/2 dx

= 2 * ∫ 1/z dz. Man sollte nicht vergessen, am Ende die Substitution rückgängig zu machen.

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Der Link hilft nicht recht weiter.


∫ - dx / x =

-∫ dx / x =

-ln | x | + C;


In der anderen Aufgabe weiß ich nicht, wo (überall) Klammern fehlen:

∫ (4/2 x + 10) dx =

∫ (2x +10) dx =

x² + 10x + C; (war aber wohl eher nicht gemeint);

. . .

∫ ( 4 / (2x) + 10) dx =

2 ∫ dx / x + 10 ∫ 1 dx =

2 ln | x | + 10 x + C;

. . .

∫ 4 dx / (2x + 10) =

2x + 10 = t ; 2 dx = dt

∫ 2 dt / t =

2 ln | t | + C =

2 ln | 2x + 10 | + C;

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