Stammfunktion von tanx

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3 Antworten

A. Richtig verstanden hast du das.

f(x) > 0 ist eine notwendige Bedingung, weil der ln für negative Argumente nicht definiert ist ( -> ln(f(x)) exsitiert nicht für f(x) ≤ 0)

B. Tief durchatmen, kein Panik:

Für das zu betrachtende Intervall D = ]-pi / 2; pi / 2[ ist "ganz zufällig" der cos überall positiv.

C. Die Zerlegung ist richtig. (cos(x))' = -sin(x) ist auch richtig.

| cos(x) | ist an seinen Nullstellen nicht differenzierbar ( "Ecke" im Graph) und hat also auch insbesondere nicht die Ableitung sin(x).

D. Ausweg:

(1) Mit

∫ tan(x)dx = ∫ (-1)² tan(x)dx = - ∫ - tan(x)dx;

bis du hast du das Vorzeichen, dass du zur Anwendung der Regel brauchst.

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Kommentar von psychironiker
01.05.2013, 15:36

Die Wörter "bis du" in der letzten Zeile sind zuviel.

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y = tan(x) = sin(x)/cos(x)

y = sin(x) bedeutet: y ' = cos(x)

y = cos(x) bedeutet: y ' = - sin(x)

Ist g(x) = f '(x)/f(x) gegeben? Ja, bis auf das Vorzeichen:

y = sin(x)/cos(x) = - (-sin(x)/cos(x))

G(x) = ln(f(x)) + C = - ln cos(x) + C für cos(x) > 0

Laut Lehrbuch ist die Lösung: G(x) = - ln |cos(x)| + C, was wohl dasselbe ist?!

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Kommentar von Yakob
01.05.2013, 15:07

Dasselbe ist es nicht.

Aber die Aussage, dass z.B. die Stammfunktion von 1/x gleich ln(x)+C sei, ist eben nur die halbe Wahrheit (gültig für positive x). Wenn man gleich sagt, dass man ln(|x|)+C nehmen sollte, dann gilt dies auch für negative x. An der Stelle Null geht's natürlich nicht, weil da weder 1/x noch der Logarithmus definiert sind.

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