Stammfunktion von sin^2(t). Schritt für schritt?

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3 Antworten

Hier -->

http://www.integralrechner.de/

Da kannst du dir auch den Rechenweg anzeigen lassen, nur dass diese Webseite ausschließlich mit der Variable x arbeitet, also einfach t in x umbenennen. Dort entweder sin(x)^2 eingeben oder sin(x)*sin(x)
, danach auf "Rechenweg anzeigen" klicken.

Hallo,

sin²(t) ist gleich sin (t)*sin (t).

Das wird durch partielle Integration gelöst nach dem Muster :

∫(f'*g)=f*g-∫(f*g')

Das bedeutet, eine der beiden Funktionen, aus denen das Produkt besteht, wird als die Ableitung einer Stammfunktion interpretiert.

sin (x) ist also einmal f' und einmal g

Wenn sin (x) f' ist, ist f gleich -cos (x), denn die Ableitung von f(x)=-cos (x) ist f'(x)=sin x

Wir können also schreiben: 

∫sin (t)*sin (t)dt=-cos (t)*sin (t)-∫-cos (t)*cos (t)dt, denn 

f(t)=-cos (t), f'(t)=sin (t), g(t)=sin(t), g'(t)=cos(t)

Das Minus kannst Du aus dem Restintegral herausziehen und bekommst:

∫sin²(t)dt=-cos(t)*sin(t)+∫cos²(t)dt

cos²(t)=1-sin²(t)

Das Restintegral kann also auch als ∫1-sin²(t)dt ausgedrückt und in die beiden Integrale ∫1dt-∫sin²(t)dt aufgeteilt werden.

∫1dt=∫dt=t

Wir erhalten also:

∫sin²(t)dt=-cos(t)*sin(t)+t-∫sin²(t)dt

Nun entspricht das Restintegral dem Ursprungsintegral und kann auf die linke Seite der Gleichung gebracht werden:

2∫sin²(t)dt=t-cos(t)*sin(t) |:2

∫sin²(t)=t/2-(1/2)cos(t)sin(t)

Da laut Additionstheorem 2*cos(t)sin(t)=sin(2t) ist, ist 0,5*cos(t)sin(t) ein Viertel davon, also (1/4)*sin(2t)

So kommst Du auf Deine Lösung:

∫sin²(t)dt=t/2-(1/4)sin(2t)

Herzliche Grüße,

Willy

Aus dem Additionstheorem für den Kosinus

cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)cos(b)

folgt

cos(2t) = cos^2(t)         - sin^2(t)
        = ( 1 - sin^2(t) ) - sin^2(t)
        = 1 - 2sin^2(t)

Also

sin^2(t) = 1/2 - 1/2cos(2t)

Eine Stammfunktion der rechten Seite ist (ohne partielle Integration) ermittelbar.

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