Spezialisten der Stochastik bitte?

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6 Antworten

Dazu würde ich ein Baumdiagramm mit den einzelnen Möglichkeiten zeichnen. Der Pfad der T-I-M-M-I anzeigt ist der Richtige. Alle Wahrscheinlichkeiten dieses Pfads multipliziert ergeben das Ergebnis!

Verständlich? Viel Glück!

Fall 1: Ziehen mit Zurücklegen

Anzahl der Elemente in der Grundmenge: 9 Kugeln

Einzelwahrscheinlichkeiten:

P( T ) = 3 / 9 = 1 / 3

P( I ) = 2 / 9

P( M ) = 4 / 9

Da die Kugeln stets nach jedem Ziehen zurückgelegt werden, ändern sich diese Einzelwahrscheinlichkeiten nicht.

Zug Nr. 1 soll ein T sein: P( T ) = 1 / 3

Zug Nr. 2 soll ein I sein: P ( T , I ) = ( 1 / 3 ) * ( 2 / 9 ) = 2 / 27

Zug Nr. 3 soll ein M sein: P ( T, I , M ) = ( 2 / 27 ) * ( 4 / 9 ) = 8 / 243

Zug Nr. 4 soll ein M sein: P ( T, I, M, M ) = ( 8 / 243 ) * ( 4 / 9 ) = 32 / 2187

Zug Nr. 5 soll ein I sein: P ( T, I, M, M, I ) = ( 32 / 2187 ) * ( 2 / 9 ) = 64 / 19683

Das sind ca. 0,325 %.

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Fall 2: Ziehen ohne Zurücklegen

Beim ersten Zug entsprechen die Einzelwahrscheinlichkeiten den obigen.

Zug Nr. soll ein T sein: P( T ) = 1 / 3

Jetzt neuer Zustand, denn die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Wir haben nur noch 8 Kugeln, davon tragen 2 ein T, 2 ein I und 4 ein M. Also gilt jetzt P( T ) = 2 / 8 = 1 / 4, P( I ) = 2 / 8 = 1 / 4, P( M ) = 4 / 8 = 1 / 2.

Zug Nr. 2 soll ein I sein: P ( T , I ) = ( 1 / 3 ) * ( 1 / 4 ) = 1 / 12

Neuer Zustand: 7 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 4 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 7, P( I ) = 1 / 7, P( M ) = 4 / 7

Zug Nr. 3 soll ein M sein: P ( T, I , M ) = ( 1 / 12 ) * ( 4 / 7 ) = 1 / 21

Neuer Zustand: 6 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 3 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 6 = 1 / 3, P( I ) = 1 / 6, P( M ) = 3 / 6 = 1 / 2

Zug Nr. 4 soll ein M sein: P ( T, I , M, M ) = ( 1 / 21 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 42

Neuer Zustand: 5 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 2 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 5, P( I ) = 1 / 5, P( M ) = 2 / 5

Zug Nr. 5 soll ein I sein: P ( T, I , M, M, I ) = ( 1 / 42 ) * ( 1 / 5 ) = 1 / 210

Das sind ca. 0,476 %.

Wenn er die Kugeln zurücklegt 64/19683 ( 3/9* 2/9*  4/9* 4/9* 2/9)

Wenn er die Kugeln nicht zurücklegt 1/70 ( 3/9*2/8*4/7*3/6*3/5)

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