Sinusfunktion umstellen?

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3 Antworten

Allgemein gilt:

y = sin(x) 
⇔x = arcsin(y)

Hier angewandt ergibt das:

u(t) = us * sin(ω t) 
⇔ ω t = arccos(u(t) / us) 
⇔ t = (1/ω) * arccos(u(t)/us)

(1) Wieso soll auf einmal "arccos" die Umkehrung des sin sein? Das soll wohl sicher auch in der zweiten Gleichungsfolge "arcsin" heißen.

(2) Das Äquivalenzzeichen macht mir etwas "Bauchschmerzen", denn der arcsin ergibt nur Winkel zwischen (inkl.) -π/2 und +π/2, es gibt aber unendlich viele weitere Winkel mit dem gleichen Sinus. - Die vollständiger Äquivalenz lautet:

 y = sin(x) 
 ⇔ x = arcsin(y) + 2kπ, oder aber 
    x = -arcsin(y) + (2k +1)π, 
wobei k ∈ ℤ  beliebig.

(3) Entsprechend gibt es auch (theoretisch) unendlich viele Zeiten t, zu denen eine Auslenkung u(t) gemäß obiger Funktion erreicht wird, nämlich alle

 t = (1/ω) * ( arcsin(u(t)/us) + 2kπ ), sowie alle 
 t = (1/ω) * ( -arcsin(u(t)/us) + (2k+1)π ).
 wobei k ∈ ℤ  beliebig.
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@psychironiker

Du hast in allen Punkten recht. Das kommt davon, wenn man schon zu müde ist und trotzdem noch mathematische Fragen beantworten will. Danke für die Richtigstellung!

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sin^-1 und dann durch w teilen.

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