Sinus Hyperbolicus h-Methode

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2 Antworten

Der Ausdruck [sinh(x)cosh(h) + sinh(h)cosh(x) - sinh(x)] / h für h-->0 vereinfacht sich wegen cosh(0)=1 und sinh(0)=0 im Grenzwert zu

cosh(x) * sinh(h) / h (immer h-->0).

Die Schwierigkeit besteht also in der Berechnung des Grenzwertes sinh(h) / h für h-->0 .

Hier ist es tatsächlich hilfreich auf die e-Funktion überzugehen um das Problem auf ein bekanntes zurückzuführen. Es ist (e^h - e^-h) / (2h) = [e^(2h) - 1] / [e^h * 2h] . Wegen e^0 = 1 ist dies im Grenzfall [e^(2h) - 1] / (2h) und wg. h-->0 kann man 2h durch h ersetzen. Also ist der Grenzwert (e^h - 1) / h zu berechnen. Setzt man nun e^h - 1 =u, so ist , wg. der Stetigkeit, h-->0 mit u--> 0 äquivalent. Es ist dann h = ln(1+u) und somit ist der Grenzwert u / [ ln(1+u)] oder einfacher der Kehrwert zu berechnen.

ln(1+u) / u für u-->0 zu berechnen. Dieser Grenzwert ist nun "berühmt" und gleich 1. Es ist gerade die spezifische Eigenschaft des natürlichen Logarithmus. Der Beweis kann aus der Literatur entnommen werden und dies sollte zum Verständnis auch getan werden, da es sich, wie gesagt, um eine Kerneigenschaft des natürlichen Logarithmus handelt. Hieraus ergibt sich dann, wie oben dargestellt sinh(h) / h --> 0 für h -->0 und damit das Ergebnis cosh(x).

Hm, ich würde an deiner Stelle eher die E-Funktion verwenden:

sinh(x) = \dfrac{1}{2}(e^{x} - e^{-x}).

Dies ist einfach die Definition des Sinus Hyperbolicus.

Ganz normales Ableiten liefert dann den Cosinus-Hyperbolicus, wie geplant.

Eine andere Möglichkeit wäre es, sehr wagemutig den ersten und letzten Term im Zähler zusammenzufassen:

(cosh(h)-1)sinh(x)/h. Dann bleibt noch \sinh(h)\cosh(x)/ h übrig.

Angenommen, man weiß, dass man den Grenzwert in zwei Teile aufsplitten darf, hat man die Aufgabe eigentlich gelöst. Man muss sich nur noch klar machen, dass im Limes h gegen 0 der zweite Quotient, den ich angeschrieben habe, gegen cosh(x) geht, und der erste gegen 0. Gerade letzteres würde ich über eine Rückführung des cosh(x) auf die E-Funktion zeigen.

Beste Grüße, dongodongo.

PS: Mit der h-Regel? Was ist das denn für eine Aufgabe?!

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