Sind Nullteiler freie kommutative Ringe mit Eins Körper?

... komplette Frage anzeigen

1 Antwort

Gilt

∀R : R nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins (†)

⟹ R Körper

? Nein. Beispiel: ℤ, S[X], etc. für S ein beliebiger Ring, etc. alle erfüllen die Voraussetzung und sind dabei nicht Körper.

Ist der nullteilerfreier kommutativer Ring (†) mit Eins

ℤ / p·ℤ,  p ∈ ℙ Primzahl

ein Körper? Ja. Ein Ring, R, ist genau dann ein Körper, wenn er (†) erfüllt und jedes Element in R\\{0} invertierbar ist.

In ℤ / p·ℤ ist dies dank des Euklid'schen Algorithmus der Fall! Sei [m] ∈ ℤ / p·ℤ nicht gleich [0], das heißt, NICHT(p | m) und damit, da p ∈ ℙ, gilt ggT(p,m)=1. Wegen Euklid erhält man: am + kp = ggT(pm)=1 für ein a, k ∈ ℤ. Dann sieht man: [a][m] = [1] =multiplikatives Neutralelement.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von kreisfoermig
21.11.2015, 21:21

Außerdem solltest du folgendes allgemeines Ergebnis beweisen, statt nur die ganze Zeit mit konkreten Beispielen zu arbeiten:

Satz. Sei R ein Ring und J ⊆ R ein Ideal.* Dann gilt:

  • R hat eine Eins u ⟹ R/J hat ein Eins [u]
  • R kommutativ ⟹ R/J kommutativ
  • J Nullteiler frei ⟺ J ein Primideal
  • jedes Element in R/J \ {[0]} ⟺ J maximal (⟹ J Primideal)

Insbesondere R/J Körper genau dann, wenn R kommutativ, eine Eins enthält und J maximal ist. Da pℤ ≤ ℤ maximal ist, ist ℤ/pℤ ein Körper.


* das heißt, {0} ∪ R·J ∪ J·R ∪ (J+J) ⊆ J m. a. W. J enthält 0, ist unter Addition stabil und links und rechts Multiplikation durch Elemente aus R stabil. Hierbei definiert man R/J als der Quotientenraum der Äquivalenzrelation: wobei x ~ y gdw. y–x ∈ J und statt diesen mit den Operationen [x]+[y] = [x+y] und [x]·[y] = [x·y] aus. Die Eigenschaften eines Ideals stellt sicher, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist und diese Operationen wohldefiniert sind.

0

Was möchtest Du wissen?