Sind die erste und zweite Ableitung an der Stelle x0 = 0. Also f'(x0)=0 und f''(x0)=0, kann dann weder eine maximal noch eine minimalstelle existieren?

4 Antworten

Richtig.

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt:

f'(x) = 0

Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt:

f''(x) = 0

Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem der Graph die extremste (also höchste oder niedrigste) Steigung zwischen zwei Extrempunkten aufweist. 

Wenn sowohl die 1. als auch die 2. Ableitung am selben Punkt null sind, würde der Extrempunkt gleichzeitig auch ein Wendepunkt sein. Ein Extrempunkt hat allerdings die Steigung null. Das passt also nicht zusammen. 

Das sagt aber auch schon ganz einfach die hinreichende Bedingung für Extrempunkte:

f''(x) ≠ 0

f''(x) > 0 --> Tiefpunkt

f''(x) < 0 --> Hochpunkt

Mehr dazu findest du hier:

https://www.mathebibel.de/extremwerte-berechnen

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

Das ist nicht richtig , f(x) = x⁴ erfüllt die Bedingungen von oben an der Stelle x = 0, aber bei 0 ist ein lokales Minimum. Richtig geht es mit dem Satz von Taylor.

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Sorry: f(x) = x^4 widerlegt deine These!

1

Ich vermisse irgendwo das Wort "Sattelpunkt". Denn gewöhnlich ist ein solcher bei y' = 0 und gleichzeitig y'' ' = 0.

Ein Sattelpunkt ist sowieso ein Wendepunkt und versteht sich von der einen Seite her als Hochpunkt und von der anderen Seite her als Tiefpunkt.

Es ist zumindest die notwendige Bedingung, daher reicht es bei Steckbriefaufgaben aus. Mit der Funktion selber hat man dann 3 Gleichungen aus einem einzigen Punkt. Reiche Beute!

Nimm nicht x⁴ als Beispiel, sondern eine Funktion 4. Grades mit mehr als zwei Termen.

1

Doch, es kann dann alles sein. Richtig ist: Wenn f"(x0) = 0 und fn(x0) die erste Ableitung , die an der Stelle x0 nicht 0 ist, dann ist x0 ein Extrempunkt, wenn n eine gerade Zahl ist. Dies folgt direkt aus dem Satz von Taylor mit Restglied nach Lagrange. Zum Beispiel hat f(x)=x⁴ an der Stelle x0=0 ein Minimum.

soll ganz oben die erste Ableitung sein, leider mit dem Handy vertippt

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Welche Bedeutung haben erste und zweite Ableitung und welche zusammenhänge gibt es?

Also die erste Ableitung gibt ja die Steigung der Tangente an.Damit kann man ja Extrempunkte berechnen.Und dort wo die Ausgangsfunktion Extrempunkte hat, hat ja die 1. Ableitungen Schnittpunkte auf der x- Achse oder?Und wofür ist jetzt die zweite Ableitung?

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Danke im Voraus!

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