Sind die erste und zweite Ableitung an der Stelle x0 = 0. Also f'(x0)=0 und f''(x0)=0, kann dann weder eine maximal noch eine minimalstelle existieren?

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3 Antworten

Richtig.

Notwendige Bedingung für einen Extrempunkt:

f'(x) = 0

Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt:

f''(x) = 0

Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem der Graph die extremste (also höchste oder niedrigste) Steigung zwischen zwei Extrempunkten aufweist. 

Wenn sowohl die 1. als auch die 2. Ableitung am selben Punkt null sind, würde der Extrempunkt gleichzeitig auch ein Wendepunkt sein. Ein Extrempunkt hat allerdings die Steigung null. Das passt also nicht zusammen. 

Das sagt aber auch schon ganz einfach die hinreichende Bedingung für Extrempunkte:

f''(x) ≠ 0

f''(x) > 0 --> Tiefpunkt

f''(x) < 0 --> Hochpunkt

Mehr dazu findest du hier:

https://www.mathebibel.de/extremwerte-berechnen

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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lks72 08.10.2017, 20:22

Das ist nicht richtig , f(x) = x⁴ erfüllt die Bedingungen von oben an der Stelle x = 0, aber bei 0 ist ein lokales Minimum. Richtig geht es mit dem Satz von Taylor.

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Incognito88 08.10.2017, 20:23

Sorry: f(x) = x^4 widerlegt deine These!

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Doch, es kann dann alles sein. Richtig ist: Wenn f"(x0) = 0 und fn(x0) die erste Ableitung , die an der Stelle x0 nicht 0 ist, dann ist x0 ein Extrempunkt, wenn n eine gerade Zahl ist. Dies folgt direkt aus dem Satz von Taylor mit Restglied nach Lagrange. Zum Beispiel hat f(x)=x⁴ an der Stelle x0=0 ein Minimum.

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lks72 08.10.2017, 21:10

soll ganz oben die erste Ableitung sein, leider mit dem Handy vertippt

0

Hängt von der dritten Ableitung ab. Und gegebenenfalls von allen weiteren.

f(x) =x^4 hat im Ursprung definitiv ein Minimum.

f'(x) = 4x^3

f''(x)= 12 x^2

f'''(x) = 24 x

f''''(x) = 24

A) Die zweite Ableitung = 0 verrät dir erstmal, dass die Info der ersten für diese Stelle falsch ist.

B) Aber die dritte Ableitung = 0 verrät dir für diese Stelle, dass A falsch sein könnte.

Die vierte Ableitung <> Null verrät dir, dass B) falsch ist. A) also richtig sein muss.

Kann man bei höheren Graden beliebig fortsetzen... Bis eben eine Ableitung an dieser Stelle nicht Null ergibt.

Liebe Grüße,

Tanja

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