Sind arithmetische Axiome wiederspruchsfrei?

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6 Antworten

Beachte auch noch folgende Seite: de.wikipedia.org/wiki/HilbertscheProbleme#Hilbertszweites_Problem

In der vorher schon angegebenen Webseite zum Thema Widerspruchsfreiheit findet man aber auch folgende Passage: "Hilberts Programm, das sich auf finite metalogische Beweismittel beschränkte, versagte aber bei der Arithmetik und darauf aufbauenden Axiomensystemen¸ was Kurt Gödel in seinen Unvollständigkeitssätzen von 1931 zeigte.[14] Spätere Mathematiker modifizierten daher Hilberts Programm, indem sie die Beweismittel erweiterten (z.B. um transfinite Methoden), und erzielten damit neue Ergebnisse:

* Die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik wurde 1936 von Gerhard Gentzen bewiesen."

An sich erst einmal ja, zumindest macht es keinen Sinn, Axiome zu definieren, die sich widersprechen !

Kommt darauf an, welche Axiome genau gemeint sind. Ob eine Menge von Axiomen widerspruchsfrei ist, ist nicht immer leicht zu entscheiden. Das Thema der Widerspruchsfreiheit war ein wichtiges Thema in der ersten Hälfte des vergangenen Jahrhunderts. Schau einmal da nach, um dir einen Eindruck von der Komplexität des Themas zu verschaffen:

de.wikipedia.org/wiki/Widerspruchsfreiheit#Widerspruchsfreiheitsbeweise de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6delscherUnvollst%C3%A4ndigkeitssatz#G.C3.B6delsSatz

Wenn sie nicht widerspruchsfrei sind, dann kannst du darauf keine Mathematik aufbauen.

das hat david hilbert 1900 auch schonmal gefragt ;)

Das wissen wir in 300 Jahren!

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