sin(1/x) * x^n = x^(n-1). Warum?

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4 Antworten

Du beobachtest die Kleinwinkelnäherung sin x≈x. Für ca. x<¼ liegt der Fehler dabei unter 1%. Auf Deine Funktion zugeschnitten hast Du also:

xⁿ·sin 1/x ≈ xⁿ·1/x = x⁽ⁿ⁻¹⁾  mit Fehler<1% für x>4.

Zwischen 4 und 1 wächst dieser Fehler auf ca. 16%.

Für x<1 wird's noch schlimmer, und sin 1/x fängt auch noch an zu oszillieren. Allerdings ist da ja xⁿ<1, sodass das kaum auffällt, wenn man nicht so genau hinguckt :-)

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Für große x geht sin(1/x) gegen 1/x

Das ergibt sich aufgrund

sin(x) ~ x für kleine x

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Wo sehen die sich denn ähnlich?

sin(1/x)*x^n ist eine periodische Funktion die wegen dem x^n immer weiter ausschwingt.
x^(n-1) ist nicht periodisch...

Wo siehst du da einen Zusammenhang?

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Kommentar von Melvissimo
09.02.2017, 05:19

Aber sin(1/x) ist gar nicht periodisch...

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Das ist kein Zufall. Wenn x sehr groß wird, ist x⁻¹ entsprechend klein. Für eine kleine Größe α ist

sin(α) ≈ α,

was man auch an der Reihenentwicklung

sin(α) = α – ⅓α³ + ¹/₅α⁵ –…+…

erkennen kann. Hier ist für α die Größe x⁻¹ einzutragen, und das mit xⁿ multipliziert ist nun einmal x^{n–1}.

In der Nähe von 0 verhält sich sin(x⁻¹) freilich völlig anders, sie oszilliert nämlich immer wilder herum. Als komplexe Funktion ist sin(1/z) in z=0 wesentlich singulär und nimmt in jeder noch so kleinen Umgebung von z=0 jeden Komplexen Zahlenwert an.

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