Beweis ins Detail, warum (xyz)⁴=x⁴·y⁴·z⁴ für alle Zahlen x,y,z!

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5 Antworten

Definiere erst einmal was eine Potenz ist.. das ist nämlich nichts anderes als eine Kurzschreibweise für x-Faches multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.. a^5 = a*a*a*a*a*a (5-mal)

Egal das weißt du ja mit Sicherheit.. 

(x*x*x*x)  *(y*y*y*y) * (z*z*z*z) = (x*y*z)  * (x*y*z)  *(x*y*z)  *(x*y*z) = (x*y*z)^4

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Beweis durch vollständige Induktion:

z.z: (x*y)^n = x^n*y^n

I.A: y = 0

(x*0)^n = x^n*0^n

0 = 0

I.V: (x*k)^n = x^n*k^n

I.S: (x*(k+1))^n = x^n*(k+1)^n

(x*(k+1))^n = (x*k)^n+k
x^n*(k+1)^n = (x^n*k^n)+k
(x^n*k^n)+k = (x*k)^n+k

q.e.d

Prä-formaler Beweis:

(x1*y2)^n = x1*x2*...*x^n*y1*y2*...*yn = y1*y1*x2*y2*...*xn*yn = (x*y)^n

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Kommentar von kreisfoermig
02.10.2016, 10:18

Deine Induktion ist irreführend und führt nicht zur gesuchten Gleichung. Insbesondere ist

x^n*(k+1)^n = (x^n*k^n) + k

falsch.

Unten stehen relevante Induktionsbeweise, die funktionieren.

Satz. Aus Lemma 2 unten folgt (x·y·z)⁴ = x⁴·y⁴·z⁴ für alle x, y, z ∈ ℕ. ⊣

Lemma 1. Sei A eine kommutative Algebra (wie ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, 𝔽₅,  usw.). Seien x,y∈A beliebig und fixiert. Dann gilt für alle n∈ℕ⁺

(x·y)ⁿ = xⁿ·yⁿ


Beweis (Lemma 1).

IA. Für n=1 gilt definitionsgemäß (x·y)ⁿ = x·y = xⁿ·yⁿ. (Man kann auch mit n=0 anfangen, solange die Algebra ein multiplikatives Neutralelement besitzt.)

IS. Sei n∈ℕ⁺. Angenommen, (x·y)ⁿ = xⁿ·yⁿ. Dann gilt:

(x·y)ⁿ⁺¹ = (x·y)ⁿ·(x·y)
(rekursive Definition von Potenzieren)
= (xⁿ·yⁿ)·(x·y) per Induktion
= (xⁿ·x)·(yⁿ·y)
(per Kommutativität+Assoziativität)
= xⁿ⁺¹·yⁿ⁺¹
(rekursive Definition von Potenzieren).

Darum gilt (x·y)ⁿ⁺¹ = xⁿ⁺¹·yⁿ⁺¹.

Per Induktion erhält man also (x·y)ⁿ = xⁿ·yⁿ für alle n∈ℕ⁺. QED.

Lemma 2.  Sei A eine kommutative Algebra (wie ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, 𝔽₅, usw.). Dann gilt für alle m∈ℕ⁺

(x[1]·x[2]·…·x[m])ⁿ = x[1]ⁿ·x[2]ⁿ·…·x[m]ⁿ

für alle x[1], x[2], … ,x[m] ∈ A und n∈ℕ⁺. ⊣

Beweis (Lemma 2).

IA. Für m=1 gilt die Aussage offensichtlich.

IS. Angenommen, die Aussage gilt für m∈ℕ⁺. Seien x[1], x[2], … ,x[m], x[m+1] ∈ A und n∈ℕ⁺ beliebig. Dann gilt

(x[1]·x[2]·…·x[m]·x[m+1])ⁿ
= ((x[1]·x[2]·…·x[m]) · x[m+1])ⁿ Assoziativität
= (x[1]·x[2]·…·x[m])ⁿ · x[m+1]ⁿ wegen Lemma 1
= x[1]ⁿ·x[2]ⁿ·…·x[m]ⁿ · x[m+1]ⁿ per Induktion.

Darum gilt die Aussage für m+1.

Per Induktion also gilt die Aussage für alle m∈ℕ⁺. QED.

1

x^4*y^4*z^4=x*x*x*x*y*y*y*y*z*z*z*z
=xyz*xyz*xyz*xyz=(xyz)^4

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Benutze einfach ein paar Zahlen für x,y und z und dann rechne es aus. Du wirst sehen, dass das gleiche rauskommt ;)

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Kommentar von Naydoult
01.10.2016, 23:22

Das ist kein Beweis.

6

(xyz)⁴ = (xyz)(xyz)(xyz)(xyz)  -- nach Definition der Potenz

(xyz)(xyz)(xyz)(xyz) = xyzxyzxyzxyz  -- nach Assoziativgesetz

xyzxyzxyzxyz = xxxxyyyyzzzz -- nach Kommutativgesetz

xxxxyyyyzzzz = x⁴·y⁴·z⁴ -- nach Definition der Potenz

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