Seien I ⊆R,J ⊆R Intervalle . Man betrachte die Funktion f : I → J gegeben durch f(x) := −xhoch2 + 1?

...komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Gesucht sind offensichtlich geeignete Intervalle I und J.

Mach eine Fallunterscheidung für J. Ich skizziere das mal für offene Intervalle. Bei halboffenen und abgeschlossenen Intervallen geht's genauso.

  1. Der Scheitelpunkt ist nicht in J: Also ist J = (y₀, y₁) für y₀<y₁≤1. Du findest zwei Intervalle I⁻=(-x₀, -x₁) und I⁺=(x₁, x₀) mit x₀>x₁≥0, f(x₀)=y₀ und f(x₁)=y₁.
    Beide Intervalle sind Lösungen (sogar bijektiv)., Aber echte Teilmengen davon sind nicht surjektiv, und Vereinigungsmengen sind keine Intervalle, da I⁻ und I⁺ durch x=0 getrennt sind. Also bleibt es bei den zwei Lösungen
    •     〈I⁻, J〉
    •     〈I⁺, J〉

  2. Der Scheitelpunkt ist in J: Also ist J = (y₀, 1] für y₀<1. Du findest wieder zwei Intervalle I⁻=(-x₀, 0] und I⁺=[0, x₀) mit x₀>0 und f(x₀)=y₀.
    Wieder sind beide Intervalle bijektive Lösungen. Aber jetzt kleben sie aneinander, und man kann I⁻ rechts (offen oder abgeschlossen) erweitern bis maximal x₀. Ebenso kannst Du I⁺ links bis -x₀ erweitern. So findest Du unendlich viele Lösungen
    •     〈I⁻ ∪ (0,x), J〉 für 0<x≤x₀
    •     〈I⁻ ∪ (0,x], J〉 für 0≤x<x₀
    •     〈I⁺ ∪ (-x,0), J〉 für 0<x<x₀
    •     〈I⁺ ∪ [-x,0), J〉 für 0≤x<x₀

    Die Lösungen I⁻ und I⁺ sind dabei minimal und bijektiv.
    Die Lösung I⁻ ∪ I⁺ ist maximal und erwischt jeden Punkt aus J\\\\{1} genau zwei mal.
Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Steht doch im ersten Satz der Aufgabenstellung. Ein Definitionsbereich ist i.d.R ein Intervall (ob offen, geschlossen oder halboffen) und keine einzelne Zahl. (Eine Funktion, die nur auf einem einzelnen Punkt definiert ist, wäre auch reichlich uninteressant. Man kann sie ja noch nicht einmal ableiten).

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Doremifasolo 16.07.2017, 15:08

Und wie geht man so eine Frage dann an, wenn man diese Funktion als Surjektiv darstellen möchte, indem man etwas für I und J angeben soll?

0
kilometerspritz 16.07.2017, 15:21

wo ist denn die Aufgabenstellung?

0

Die Funktion ist surjektiv auf dem Intervall i:[0,unendlich). Der Definitionsbereich geht von j:[1,- unendlich)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?