Schwerpunkt bestimmen durch stat. Moment (Mechanik)?

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2 Antworten

Vielleicht hilft dir folgendes:


Also wenn die gegebene Fläche eine Ellipse ist, so läge ihr Schwerpunkt in der "Mitte".

https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Du kannst die Ellipse durch geeignete Transformation in einen Kreis überführen und dann damit bspw. den Schwerpunkt bestimmen. Ein Beispiel:

Sei  A = { x aus IR^3 : z = c  mit c aus IR ;  ax² + by²  <=  1 }

Wir folgern damit zunächst:

x² <= 1/a   und   y² <= 1/b   mit  a,b > 0

Führe folgende Koordinatentransformation durch:

(x, y, z) = ( u / sqr(a) , v / sqr(b) , z)    (Streckung bzw Stauchung)

Wir erhalten somit als neue Umschreibung:

A = { x aus IR^3 : z = c mit c aus IR ;  u² + v²  <= 1 }


Nun suchen wir bspw. den Schwerpunkt der Fläche, dies können wir wieder wie gewohnt machen mit:

Int{x * dA}/A für Sx   und   Int{y *dA}/A für Sy

( Sz folgt hier automatisch zu Sz = c , da konstant )


Zunächst berechnen wir nun die Fläche A:

Für die Transformation gilt es zunächst noch den Betrag der Jacobi-Determinante zu ermitteln, welcher hier zu:

| det D | = 1/ sqr(ab)    folgt.

Wir transfomieren damit das Integral:

Integral{ x dxdy } = Integral{ (sqr(a)*u)* |det D| dudv }

Ausgerechnet ergibt dies hier:

1/sqr(b) * Int{ u* dudv }

Die Integrationsgrenzen folgen zu (von Außen nach Innen):

- [-1 , 1]  über u

- [- sqr(1 - u²) , sqr(1 - u²) ] über v

Damit erhalten wir:

1/sqr(b) * Int{ u* dudv } = 1/sqr(b) * Int{ u* [2*sqr(1 - u²)] du }

und mit der Ableitung :

d/du {sqr(1 - u²)^3 } = (-3)*u*sqr(1 - u²)

Folgt hier mit dem 1.HS und etwas umschreiben:

1/sqr(b) * Int{ u* [2*sqr(1 - u²)] du } = (-2)/sqr(9*b) * Int{ (-3)u* [sqr(1 - u²)] du }

= (-2)/sqr(9*b) *[ sqr(1 - 1²)^3 - sqr(1 - (-1)²)^3 ] = 0 = Su

(Wie zu erwarten war, da die Ellipse ihren "Mittelpunkt" im Zentrum hat, so wie sie konstruiert ist.

Analog würden wir das jetzt auch für die v Komponente machen und erhalten:

1/sqr(a) * Int{ v* dudv } = (-2)/sqr(9*a) *[ sqr(1 - 1²)^3 - sqr(1 - (-1)²)^3 ] = 0

---> Sv = 0

Zurückrechnen auf die ursprünglichen Koordinanten würde dann liefern:

Sx = 0  und  Sy = 0   und  Sz = c     (Wie zu erwarten war)


Zur Berechnung der Fläche der Ellipse, betrachte das Integral:

A = Int{ dA } = 1/sqr(ab) *Int{ dudv}

Transformation auf Zylinderkoordinaten liefert:

= 1/sqr(ab) * Int{ r* dr*dP}     mit Winkelargument dP

Integration über folgende Grenzen:

- [0, 2pi]  für P

- [ 0, 1]  für r 

Wir erhalten somit schnell:

A = 1/sqr(ab) * (1/2) * 2pi

Also schön zusammengefasst:

A = pi /sqr(ab)


Wenn wir jetzt noch umschreiben:

a = 1/d²   und  b = 1/e²

So erhalten wir die allseits bekannte Formel für den Flächeninhalt einer Ellipse:

--> A = pi*d*e    mit  den Halbachsen d und e.



Was tun, wenn die Ellipse nun nicht in der X-Y-Ebene liegt bzw ihr Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt?

Nun dieses Problem kann ebenfalls wieder über eine geeignete Koordinatentransformation gelöst werden.

Zunächst eine Translation in den Ursprung, anschließend entsprechende Achsen wählen. Eine Stauchung/Streckung bringt das ganze dann wieder auf die Form eines Kreises. Schließlich kann dann einfach integriert werden oder falls noch notwendig kann durch eine weitere Transformation in Zylinderkoordinaten das Problem noch weiter vereinfacht werden.


Ein etwas schwierigeres Beispiel wäre:

A = { x aus IR^3 : z = c mit c aus IR;  a*(x-d)² + b*(y - e)² <= 1; a,b > 0}

Hier würde bspw. folgende Transformation helfen:

(x, y, z) = ((u/sqr(a)) + d , (v/sqr(b)) + e , z )

Dies entspricht einer Translation um (d, e, 0) und einer Streckung/Stauchung. Der Betrag der Jacobi-Determinate der Transformation folgt hier analog zu:

| det D | = 1/sqr(ab)

Der Rest lässt sich analog behandeln wie zuvor.

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Das statische Moment ist ja nichts anderes als die von dir beschriebene Integralformel.

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