Schreibe Morgen einen Mathetest und verstehe das Thema garnicht. Im internet finde ich nichts?

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4 Antworten

Hallo! :)

Erst einmal sollst du die angegebene Funktion y = x² zeichnen. Wie du sicherlich weißt, ist das die Normalparabel.

Den Graphen der gegebenen Funktion siehst du nochmal im 1. Bild! :)

Wichtig zu beachten:

In der Aufgabe steht: "Bestimmen Sie an Hand der Zeichnung".

Das heißt, du musst gar nicht zwingend rechnen, sondern kannst das z.B. zeichnen.

Nun zu den einzelnen Teilaufgaben:

● ● ● ● ● Teilaufgabe a) ● ● ● ● ●

die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [0;2].

Die mittlere Änderungsrate, auch Sekantensteigung oder Differenzenquotient genannt, ist die Steigung zwischen genau 2 Punkten, die auf dem Graphen der Funktion y = x² liegen.

Eine Sekante ist eine Gerade, die die Funktion wie gesagt in genau 2 Punkten schneidet. Du hast bei a) ein Intervall von x = 0 bis x = 2. Dort sind auch deine Punkte, wo die Sekante den Graphen schneidet.

Das heißt, du zeichnest jetzt einen Punkt bei P1(0|0) und bei P2(2|4).

Anschließend zeichnest du eine Sekante, also einfach eine Gerade, die durch diese beiden Punkte geht.

Jetzt musst du noch die mittlere Änderungsrate, also die durchschnittliche Steigung anhand dieser Sekante ablesen.

Das machst du einfach mit einem Steigungsdreieck. Da ich dir das schlecht zeigen kann, rechne ich für dich nochmal den exakten Wert mithilfe des Differenzenquotienten aus.

Dafür nutzt du im Endeffekt einfach die Formel, die du schon zum berechnen der Steigung m von linearen Funktionen kennst, da wir hier ja auch nur eine Gerade haben.

m = (y2 - y1) : (x2 - x1)

In diese Formel setzen wir nun die beiden Punkte wieder ein:

P1 (0|0) 

P2 (2|4)

m = (4 - 0) : (2 - 0)

► ► ► m = 2

Das ist die mittlere Änderungsrate zwischen dem Ursprung, also dem Punkt P1(0|0) und dem Punkt P2(2|4).

Dein Steigungsdreieck der Sekante muss also pro 1cm nach rechts (2 Kästchen) genau 2cm (4 Kästchen) nach oben gehen.

● ● ● ● ● Teilaufgabe b) ● ● ● ● ●

die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [-2;1].

Das ist nun nicht mehr so schwer, hoffe ich ;)

Exakt die selbe Aufgabe, nur hast du nun ein anderes Intervall gegeben.

Nun haben wir folgende Punkte:

P1(-2|4)

P2(1|1)

Beide Punkte musst du nun wieder einzeichnen. Beide Punkte liegen auf der Parabel. Jetzt zeichnest du erneut eine Sekante zwischen diesen beiden Punkten P1 und P2. Anschließend ließt du die Steigung der Sekante ab.

Hier nochmal die Rechnung:

m = (y2 - y1) : (x2 - x1)

m = (1 - 4) : (1 - (-2))

m = -3 : 3

► ► ► m = -1

Hier ist die mittlere Änderungsrate also m = -1.

● ● ● ● ● Teilaufgabe c) ● ● ● ● ●

Geben Sie je ein Intervall an, auf dem die mittlere Änderungsrate 0,1,-3.2 ist.

Das ist gar nicht so schwer, weil du auch hier wie gesagt nur bestimmen musst. 

Da die Parabel am Ursprung ihren Scheitelpunkt hat, kannst du dir das ganz einfach "ableiten". Im Ursprung hat die Parabel die Steigung m=0. Jetzt gehst du einfach immer zu der entsprechende x-Koordinate, also Funktionsstelle. Vom Ursprung bis zu dieser Funktionsstelle hast du dann immer die entsprechende Steigung. Dabei gibt es aber auch 2 Ausnahmen, die ich gleich auch noch mache.

Änderungsrate m = 1:

P1(0|0)

P2(1|1)

Schon hast du die mittlere Änderungsrate m = 1. 

Auch in der Rechnung würdest du ja wieder 1 durch 1 teilen, was wiederum die 1 ergibt:

m = (1 - 0) : (1 - 0)

m = 1

__________________________________________________________

Änderungsrate m = 2:

P1(0|0)

P2(2|4)

m = (4 - 0) : (2 - 0)

m = 2

Das selbe hatten wir ja sogar schon vorhin oben, kannst du also einfach abschreiben.

__________________________________________________________

Nun die 2 Ausnahmen:

Änderungsrate m = -3:

Du machst das wie vorhin, nur nimmst du jetzt den Punkt von oben zuerst und anschließend den Ursprung, damit die Steigung auch negativ ist. Das heißt, jetzt ist P2 der Ursprung, nicht P1.

P1(3|9)

P2(0|0)

m = (9 - 0) : (0 - 3)

m = 9 : (-3)

m = - 3

__________________________________________________________

Änderungsrate m = 0:

Da die Funktion bzw. der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, sind alle Punkte, die du rechts von der Achse im positiven Bereich der x-Koordinaten sind, auch links von der y-Achse im negativen Bereich der x-Koordinaten gespiegelt und haben die selbe y-Koordinate. Nun nimmst du einfach einen Punkt und den entsprechenden Punkt auf der anderen Seite:

P1(-2|4)

P2(2|4)

m = (4 - 4) : (2 - 2)

m = 0

__________________________________________________________

Das war nun einmal die komplette Aufgabe 8 mit schriftlichen Belegungen, also den Rechnungen.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte! :)

Wenn du noch Fragen hast, melde dich einfach!

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Normalparabel ( y = x² ) - (Schule, Arbeit, Mathe)
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Kommentar von kkkkkkkk12345
01.02.2017, 19:46

Danke war sehr hilfreich

1

Differenzenquotient ist (de)y/(de)x=(y2-y1)/(x2-x1)= (f(x2)-f(x1)/(x2-x1)

(de)=griechischer Buchstabe Delta

(de)y/(de)x ist die "Sekantensteigung" durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

lassen wir das Intervall (x2-x1) gegen Null gehen,so erhalten wir den "Differentialquotienten" dy/dx=f´(x) . Ist die erste Ableitung der Funktion f(x) .

dy/dx ist die exakte Steigung an der Stelle xo an der Funktion f(x)

hier f(x)=x^2 abgeleitet f´(x)=2*x Steigung an der Stelle xo=0 ist somit

f´(xo)=m= 2*2= 4    

zu a. x1=0 und x2=2  ergibt y1=0^2=0 und y2=2^2=4 eingesetzt

8de)y/(de)x= y2 -y1)/(x2 -x1)= 4 - 0)/(2-0) = 4 mittlere änderungsrate im Intervall x1=0 und x2= 2 ist somit 4/1

bedeutet : 4 Einheiten aus der y- Achse nach oben und 1 Einheit auf der x-Achse nach rechts.

b. selbe Rechnung y1=(-2)^2= 4 und y2= 1^2= 1 eingesetzt

(de)y/(de)x=(1 - 4)/(1 - (-2))= - 3/3= - 1

bedeutet : 1 Einheit auf der y- Achse nach unten und 1 Einheit auf der x-Achse nach rechts.

c. (de)y/(de)= - 3 hir wählst du einen Punkt P1(- x1/y1) auf der linken Seite der y-Achse.

Die Gerade muss von links oben nach rechts unten verlaufen (wegen der negativen Steigung m= - 3)

TIPP : Löse dies zeichnerisch.

1. Schritt : Wähle einen Punkt links von der y-Achse

2. Schritt : Von den Punkt P1(-x1/y1) gehst du 3 Einheiten auf der y-Achse nach unten und dann 1 Einheit auf der x-Achse nach rechts.

3. Schritt : Das rechnest du dann mit der Formel (de)y/(de)x=(y2-y1)/(x2-x1) nach.

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So wie ich die Frage verstanden habe, geht die Aufgabe auch ohne Limes, sondern ist lösbar mit dem Differenzenquotient.

Unter der mittleren Änderungsrate verstehe ich nichts geringeres als die Steigung.

Dumm nur, dass die Funktion nicht gerade ist sondern eine Parabel (Kurve). Die Steigung lässt sich nicht mehr so einfach mit m=delta y / delta x berechnen.

Aber so schwer ist es auch nicht.

Die Formel für die Steigung lautet für parabelen zwischen zwei punkten (delta x):

m=(f(x+delta x)-f(x)) / (delta x)

delta x hierbei ist die Distanz auf der x-achse. Also bei a) 2, und bei b) 3.
jetzt kannst du die Funktion in der Gleichung einsetzen und lösen.

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Kommentar von TechnikSpezi
01.02.2017, 17:55

Unter der mittleren Änderungsrate verstehe ich nichts geringeres als die Steigung.

Dumm nur, dass die Funktion nicht gerade ist sondern eine Parabel (Kurve).



Die mittlere Änderungsrate ist der Differenzenquotient.

Damit berechnest du die Steigung zwischen 2 Punkten, wie du ja anschließend beschreibst. Deswegen sagt man dazu auch Sekantensteigung. Ebenso sagt man dazu oft "durchschnittliche Änderungsrate", was nichts anderes als "mittlere Änderungsrate" ist.

Der Begriff Steigung selbst ist aber falsch, zumindest in der Umgangssprache und in meiner Schule (Gymnasium) in NRW. Unter der Steigung versteht man grundsätzlich immer die Tangentensteigung, also die momentane Änderungsrate, auch bekannt unter der Ableitung. 

0

(f(2)-f(0)) / 2-0 ist für die mittle änderungsrate und für den lokalen punkt musst du den limes von x0 gegen x laufen lassen

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Kommentar von kkkkkkkk12345
01.02.2017, 17:18

Kannst du vielleicht noch deinen rechenweg aufschreiben?

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