Schnittmenge und Teilmengen Äquivalenz beweisen (Tipp)?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Deine Überlegung ist fast richtig. Hier fehlt nur die Implikation bei der Teilmengeneigenschaft (übrigens muss in der zu beweisenden Aussage ⊆ statt ⊂ stehen - schließlich ist ja A = B nicht ausgeschlossen).

Es müsste heißen

x ∈ A ∧ x ∈ B <=> (x ∈ B => x ∈ A)

Da die Mengenlehre eng mit der Aussagenlogik verwandt ist, kann man hier auch mit etwas arbeiten, das Wahrheitstabellen sehr ähnlich ist. Wie du richtig erkannt hast, verwendet man hier die Aussageformen x∈A und x∈B.

In einer Wahrheitstabelle wertet man für jede mögliche Belegung der Variablen mit wahr bzw. falsch die Aussageformen aus, bei Mengen jede der Möglichkeiten, dass eine der Variable zu einer der Mengen gehört bzw. nicht.

x∈A hat zwei mögliche Belegungen, x∈B hat zwei mögliche Belegungen. Insgesamt sind das 2 * 2 = 4 mögliche Belegungen.

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Danke für die Antwort. Ok, Wahrheitstabellen hatten wir noch nicht im Unterricht, das ist unser nächstes Thema. Wir sollen bei Äquivalenz die Richtung => und die Richtung <= zeigen. Ich habe jetzt:

x ∈ A ∧ x ∈ B <=> (x ∈ B => x ∈ A)

ich weiß nicht, wie ich aus der Tatsache, dass A und B eine Schnittmenge sind, zeigen soll, dass B ein Element von A ist.

Das mit dem ⊆ anstatt ⊂ habe ich meinen Lehrer auch gefragt, aber er meinte, das wäre so korrekt...

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@Jensek81

Zu ⊆ und ⊂: Stimmt, es gibt auch die Vereinbarung, ⊂ als Zeichen für "Teilmenge" zu verwenden, und ein anderes für "echte Teilmenge". Aber das ist nicht sehr weit verbreitet, seit es diese beiden Zeichen fast überall gibt, aber ein "Teilmenge - und - ungleich - Zeichen" nicht.

Zur eigentlichen Frage:

p :<=> x ∈ A

q :<=> x ∈ B

Zu zeigen:

(p ∧ q <=> q) => (q => p)

und

(q => p) => (p ∧ q <=> q)

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@PWolff

Ok, vielen Dank. Muss ich bei (p ∧ q <=> q) das Verhältnis auch noch mal in beide Richtungen zeigen?

die Aussage ist: wenn x ein Element von A ist und x ein Element von in B, ist x ein Element von B. x ist ein Element von B und auch eins von a (wegen Schnitt). ich raff gerade nur nicht, wie ich das in formelle Worte fassen soll.

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@Jensek81

Nein. (p ∧ q <=> q) ist eine Aussageform, die gemäß der Aussagenlogik ausgewertet wird; hier ist nichts zu beweisen.

Manchmal schreibt man die Pfeile mit den Doppelstrichen nur für zu beweisende (u. ä.) Aussagen, für auszuwertende Aussagen nimmt man einen Einfachpfeil. Manche finden das übersichtlicher.

Die zu beweisenden Aussagen sähen dann so aus:

(p ∧ q <-> q) => (q -> p)

(q -> p) => (p ∧ q <-> q)

(Hier spricht man wieder von Aussagen, weil hier ein logisches Gesetz behauptet wird; das bedeutet, die entsprechende Aussageform (mit Einfachpfeilen) gelte für jede mögliche Belegung der Variablen.)

(p ∧ q <-> q) bedeutet (x ∈ A ∧ x ∈ B <-> x ∈ B)

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@PWolff

Alles klar, vielen dank. Nur wie zeige ich es am besten? Ich könnte einen Kreis A zeichnen und einen Kreis B herum. Dann sieht man, dass A geschnitten B gleich B ist, weil der Kreis A in dem Kreis B liegt. ich muss es aber leider noch formell mit Zeichen aufschreiben.

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@Jensek81

Wenn du ein allgemeines Venn-Diagramm mit 2 Mengen (außer der Grundmenge) zeichnest, erhältst du 4 verschiedene Bereiche. Ich meine das Diagramm, wo sich die Kreise teilweise überlappen.

(Beispiel für ein solches Diagramm auf https://www.crashkurs-statistik.de/mengenlehre-und-venn-diagramme/ )

Wenn die Kreise ineinander liegen, fällt einer der Bereiche weg. Wenn du fit in Aussagenlogik bist, hilft dir das schon mal weiter.

Sonst nimmst du vier Punkte aus dem allgemeinen Venn-Diagramm - aus jedem der Bereiche einen - und prüfst die Behauptung für jeden der vier Punkte. Das entspricht dem Vorgehen mit der Wahrheitstabelle. Da hier jeder mögliche Fall abgedeckt wird, ist das mathematisch vollständig.

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@PWolff

Danke. Ja, das mit dem Diagrammen habe ich schon verstanden, ist eigentlich ersichtlich. Unser Lehrer besteht leider darauf, dass wir die Äquivalenz in ''=>'' und in ''<='' - Richtung zeigen. Sowie ich das mit den Wahrheitswerten verstehe, gilt x Element von B oder x Element von A, sowie der Fall x Element von B.

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@Jensek81

Ich sehe gerade, dass ich mich schon in der ersten "Übersetzung" vertam habe. Es fehlt das "= B" auf der linken Seite der Behauptung.

mit dem, was ich als erstes geschrieben habe, funktioniert es nicht. Tut mir leid.

Die Übersetzung in die Aussagenlogik stimmt dann wieder. Also

(p ∧ q <-> q) => (q -> p)

(q -> p) => (p ∧ q <-> q)

(wobei p für "x Element von A" steht und q für "x Element von B")

In diesem Fall ist es einfacher, die 4 Fälle der verschiedenen Belegungen von p und q zu untersuchen, als mengentheoretische Überlegungen.

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