Schneller als Lichtgeschwindigkeit im Zug?

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2 Antworten

Fortbewegung ist relativ

Wenn man in einem Zug mit Lichtgeschwindigkeit…

Bei Geschwindigkeiten muss man sich immer fragen: Relativ zu was? Von einer - konstanten - Geschwindigkeit

(1) |v› = (Δx/Δt ¦ Δy/Δt ¦ Δz/Δt)

eines Körpers B' lässt sich nämlich sinnvoll nur relativ zu einem Körper B sprechen. Wenn wir die Richtung von |v› als x-Richtung definieren, ist nur Δx/Δt von 0 verschieden und kann einfach als v bezeichnet werden.

Die x-Position x' relativ zu B' ist dadurch definiert, dass Δx=v·Δt mit Δx'=0 einhergeht. Daher ist

(2.1) Δx' = γ·(Δx – v·Δt),

wobei γ ein dimensionsloser Faktor ist, dessen Wert erst noch offen bleibt.

Ob wir B oder B' als ruhend betrachten, ändert nichts an der Physik. Dieses Relativitätsprinzip war bereits Galilei bekannt. 

Wir können also B' als ruhend und B als mit -|v› bewegt auffassen, d.h., Δx=0 geht mit Δx'=–v·Δt' einher. Dabei haben wir „vorsichtshalber“ B' eine eigene Zeit t' zugeordnet. Aus Symmetriegründen ist

(3.1) Δx = γ·(Δx' + v·Δt').

Jetzt ist leicht zu zeigen, dass Δt'≡Δt mit γ≡1 einher geht (das Zeichen '≡' bedeutet „identisch mit“). In diesem Fall sprechen wir von der Galilei-Transformation. Wie wir aber schon vorwegnehmen, wäre das voreilig.

Da Bewegung relativ ist, kann sich der Zug nicht nur theoretisch, sondern ganz praktisch mit fast c bewegen - relativ zur kosmischen Strahlung nämlich, die aus extrem beschleunigten, meist geladenen Teilchen besteht.

Maxwell, Einstein und c als Grenzgeschwindigkeit 

Mitte des 19. Jhds wurden bislang unbekannte Naturgesetze entdeckt, die der Elektrodynamik. J.C. Maxwell formulierte das in vier Gleichungen und entdeckte dabei zugleich, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit im materiefreien Raum den Betrag c hat. Wendet man darauf das Relativitätsprinzip an, was Einstein 1905 getan hat, so kommt man fast automatisch auf die Spezielle Relativitätstheorie.

Eine ihrer Erkenntnisse ist die Trägheit der Energie, oft in Form der berühmtesten aller physikalischen Formeln, E=mc². Da sich B' relativ zu B nicht fortbewegen kann, ohne kinetische Energie zu haben, muss er diese gleichsam mitschleppen, wodurch weitere Beschleunigung immer schwieriger wird. Davon merkt er selbst natürlich nichts, denn es gilt ja das Relativitätsprinzip.

Grundlage der Relativitätstheorie ist, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem den betrag c hat. Insbesondere folgt aus Δx = c·Δt auch

(2.0) Δx' = c·Δt' = γ·(c·Δt – v·Δt) =  γ·(c·Δt – v·Δx/c),

wobei (2.0) allgemein gilt. Die Rücktransformation muss dementsprechend

(3.0) c·Δt = γ·(c·Δt' + v·Δx'/c).

Bleibt die Frage, was γ ist. Das lässt sich gut anhand des Spezialfalls

Δy' = Δy = c·Δt', Δx'=0 

ermitteln: 

√{Δx² + Δy²} = √{v²Δt² +  c·Δt'²} = cΔt
⇔ cΔt' = √{c²Δt² – v²Δt²} = √{c² – v²}Δt
⇔ Δt =  cΔt'/√{c² – v²} = Δt'/√{1 – (v/c)²} =(3.0)= γΔt',

und damit haben wir den Lorentz-Faktor

(4) γ = 1/√{1 – (v/c)²}

gefunden, und die Umrechungen (2.0-1) bzw. (3.0-1) zusammen mit (4) heißen die Lorentz-Transformationen.

…einen Schritt nach vorne geht, ist man doch schneller als Lichtgeschwindigkeit, oder?

Nein, denn Geschwindigkeiten sind nicht additiv, was sie bei Δt'≡Δt und γ≡1 wären. Bewegt sich B" relativ zu B' mit u' in x-Richtung, so darfst Du u' nicht einfach zu v addieren, sondern musst sie Lorentz-Transormieren und erhältst

(ATG) u = (u'+v)/(1 + u'v/c²) < c.

(ATG = Additionstheorem für Geschwindigkeiten)

Unter den Lorentz-Transformationen ist das raumzeitliche Abstandsquadrat

(5) c²Δt² – (Δx² + Δy² + Δz²) ≡ c²Δt'² – (Δx'² + Δy'² + Δz'²) =: c²Δτ²

invariant, wobei Δτ dann, wenn es reell ist, d.h. (5) einen positiven Ausdruck liefert, die Lorentz-invariante Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen darstellt, also die Zeit, die jemand messen würde, für den die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Es ist zweckmäßig, τ als Zeitparameter zu verwenden und die Vierergeschwindigkeit

(6.1) |v» = (cΔt/Δτ ¦ Δx/Δτ ¦ Δy/Δτ ¦ Δz/Δτ) = (γc ¦ γ|v›) bzw.
(6.2) «v| = (cΔt/Δτ, –Δx/Δτ, –Δy/Δτ, –Δz/Δτ) = (γc, –γ‹v|)

zu verwenden, deren Betrag 

(7) ||v»| = √{«v|v»} = √{γ²c² – γ²‹v|v›} = c

ist. Dabei ist ‹v|v› das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors mit sich selbst. Die Lorentz-Transformationen ähneln einer Drehung, wobei die Rapidität ς an die Stelle eines Winkels tritt und die Hyperbelfunktionen an die Stelle der trigonometrischen Funktionen treten:

(8.0) cΔt' = cΔt·cosh(ς) – Δx·sinh(ς)(8.1) Δx' = Δx·cosh(ς) – cΔt·sinh(ς)

(9.0) cΔt = cΔt'·cosh(ς) + Δx'·sinh(ς)(9.1) Δx = Δx'·cosh(ς) + cΔt'·sinh(ς)

Die Rapidität ς ist die eigentliche dynamische Variable, die bei konstanter Eigenbeschleunigung (also dann, wenn ein Beschleunigungsmesser immer dasselbe anzeigt) linear mit τ (nicht t!) wächst.

B' kann theoretisch relativ zu B jede beliebige Strecke in einer beliebig kurzen Eigenzeit zurücklegen, aber eben nicht, ohne dabei so viel Koordinatenzeit „zurückzulegen“, dass der Quotient unter c bleibt. Der ist nämlich der Tangens Hyperbolicus von ς, dessen Additionstheorem übrigens (ATG) ist.

Die Lichtgeschwindigkeit c selbst nimmt den Status ein, den in Newtons Mechanik eine unendliche Geschwindigkeit hätte; sie entspricht einer unendlichen Rapidität.

Wenn man so will, bewegt  sich ein Lichtsignal (gemessen an einer hypothetischen „eigenen Uhr“) unendlich schnell durch den Raum und durch die Koordinatenzeit und kann niemals überholt werden.

Das Schaubild zeigt 3 Koordinatensysteme, wobei man Σ₃ als Ruhesystem von B", Σ₂ als das von B' und Σ₁ als das von B auffassen kann.

Drei Koordinatensysteme zur Veranschaulichung der ATG - (Einstein, Relativitätstheorie, lichtgeschwindigkeit)

Wieso sollte man denn schneller als Licht sein, wenn man im Zug einen Schritt nach vorne macht? 

Voltage1902 02.07.2017, 01:25

der Zug fährt Lichtgeschwindigkeit und man geht einen Schritt. dann ist man doch einen Schritt schneller als gesamt Lichtgeschwindigkeit.

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seife23 02.07.2017, 01:33
@Voltage1902

Kann doch kein Zug und die Frage macht auch hypothetisch keinen Sinn. Du würdest diese Geschwindigkeit nicht überleben und damit wird das Ganze doch hinfällig.

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SlowPhil 02.07.2017, 03:21
@seife23

Geschwindigkeit an sich ist nicht gesundheitsschädlich. Außerdem ist sie relativ, d.h., man kann sich als ruhend betrachten, muss dies aber nicht.

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seife23 02.07.2017, 10:45
@SlowPhil

Luftreibung jedoch schon und da der Zug eine solche Fahrt nicht überstehen und zerstört werden würde..

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