Scheitelpunktform einer parabel bestimmen (binomische formel?!?!)

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5 Antworten

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion (Parabel) lautet formal korrekt:

f ( x ) = a * ( x - xs ) ² + ys

wobei a der Streckfaktor und xs bzw. ys die x- bzw. y-Koordinaten des Scheitelpunktes sind.
Die formal korrekte Scheitelpunktform der quadratischen Funktionsgleichung

f ( x ) = ( x + 2 ) ² + 4

ist daher:

f ( x ) = 1 * ( x - ( - 2 ) ) ² + 4

Das war noch recht einfach, da die Funktion beinahe schon in der formal korrekten Scheitelpunktform gegeben war und nur der Streckaktor 1 hingeschrieben und die Vorzeichen in der Klammer entsprechend der Scheitelpunktform angepasst werden mussten.

Etwas schwieriger wird es bei den anderen Funktionsgleichungen, z.B. bei:

f ( x ) = x ^ 2 - 6 x + 2

Hier muss man wirklich rechnen und das geht so:

Bestimme die "quadratische Ergänzung". Dividiere dazu das lineare Glied ( 6 x ) durch 2 x und quadriere das Ergebnis. Man erhält: ( 6 x / ( 2 x ) ) ² = 9
Die quadratische Ergänzung wird nach dem linearen Glied zu dem Funktionsterm addiert und, damit sich der Wert des Termes nicht verändert, gleich wieder subtrahiert:

= x ^ 2 - 6 x + 9 - 9 + 2

Aufgrund der Berechnungsweise der quadratischen Ergänzung kann man nun die ersten drei Summanden mithilfe der ersten oder der zweiten binomischen Formel zusammenfassen (hier mit der zweiten):

= ( x - 3 ) ² - 9 + 2

Die verbleibenden beiden letzten Summanden werden zusammengefasst:

= ( x - 3 ) ² - 7

und schließlich werden die Vorzeichen noch der formal korrekten Scheitelpunktform angepasst:

= ( x - 3 ) ² + ( - 7 )

Der Scheitelpunkt S kann nun direkt abgelesen werden: S ( 3 | - 7 ).

Noch etwas schwieriger wird es bei der dritten Funktionsgleichung, da diese einen Streckfaktor ungleich Null hat:

f ( x ) = - 0,5 x ^ 2 + 2 x + 2

Dieser Streckfaktor wird zunächst aus den ersten beiden Summanden ausgeklammert:

= - 0,5 * ( x ² - 4 x ) + 2

Nun wieder die quadratische Ergänzung berechnen: ( 4 x / ( 2 x ) ) ² = 4 und innerhalb der Klammer addieren und gleich wieder subtrahieren:

= - 0,5 * ( x ² - 4 x + 4 - 4 ) + 2

Die ersten drei Summanden in der Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formel zusammenfassen:

= -0,5 * ( ( x - 2 ) ² - 4 ) + 2

Nun den Streckfaktor wieder in die äußere Klammer hineinmultiplizieren:

= - 0,5 * ( x - 2 ) ² + 2 + 2

und die beiden letzten Summanden zusammenfassen:

= - 0,5 * ( x - 2 ) ² + 4

Der Scheitelpunkt S kann nun wieder direkt abgelesen werden: S ( 2 | 4 ).

und wie kann ich x und y feststellen

x brauchst du nicht festzustellen. Setze einfach irgendeinen Wert für x in die Funktionsgleihcung ein. Mit Hilfe der Funktionsgleichung kannst du dann den zu diesem Wert von x gehörenden Wert von y berechnen. Machst du das mit einigen verschiedenen Werten für x, dann erhältst du eine Menge von Paaren ( x | y ), eine sogenannte "Wertetabelle", die du als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen kannst. An diesen Punkten im Koordinatensystem kannst du dann den ungefähren Verlauf des Graphen der Funktion erkennen.

die erste ist schon in Scheitelform und S(-2/4) bei der zweiten dann quadratische Ergänzung;

(x-3)²-9+2 → y=(x-3)²-7 und S(3/-7)

Die Scheitelpunktform ist doch bereits die: f(x)=(x+2)^2+4 (Du kannst direkt den Scheitelpunkt Ablesen; Xs = -2 und Ys = 4)

Das Umformen zur allgemeinen Form geht, wie du es schon herausgefunden hast, mit der ersten binomischen Formel. Willst du von da aus wieder in die Scheitelpunktform benutz die sog. quadratischer Ergänzung.

f(x) = (x+2)² + 4 = x² + 4x + 4 + 4 = x² + 4x + 8

ich glaub es geht so: f(x)=(x+2)²+4 fx=(x+2)(x+2)+4 fx=x²+4x+4+4 fx=x²+4x+8 hoffe ich konnte dir weiterhelfen

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