Satz von Vieta Matheaufgabe?

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6 Antworten

Satz des Vieta: 

x1+x2=−p

x1⋅x2=q


p = -15 ; q = 50

Du musst jetzt zwei Zahlen suchen, die addiert -15 ergeben und multipliziert 50

Dann ist die Lösung (x-10) (x-5), weil -10 +(-5) = -15 und -10 * (-5) = 50

Die Nullstellen liegen bei x1 = 5 und x2 = 10

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  Schon wieder ist dieser Editor abgestürzt.

Mann; ich krieg schon wieder die Krise. WARUM sind es ganze Zahlen? Schau mal, was Pappi alles weiß:

 https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?

Mathematik kann auchhöchst spannend sein; die Behauptung von Wiki, der SRN stamme von Gauß, stellt nämlich eine dreiste, unverschämte Fälschung dar. Hier Gauß ist doch Kult; wieso hat denn dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen? Die Aufgaben, die hier eintrudeln, zerfallen effektiv in zwei Kategorien. Die Minderzahl, die schon mal vom SRN vernommen haben. Und dann diese Aufgabe, bei der das ganz offenbar niocht so ist. Claro; weil weder dein Schrat noch das Lehrbuch noch das Ministerium diesen SRN kennen.

Waaste schon emaa in Frankfott geweese? In ===> Dribbdebach ( Sachsenhausen ) , uffn Affetorplatz?

Mir Frankfotter hawwe da neemisch en gei le Witz. Der passt hier. Sitzt e klaa Äffsche in Urwald uff die Palm. Unn rings konzentrisch kimmt e Feuerwalz auf des arme Äffsche auf zu. Wie soll sisch des klaa Äffsche in Sischerheit pringe?

Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß?

So viel also zum Thema SRN . So; und jetzt schließen wir mal matematisch korrekt. Aus dem Satz von Vieta würde an sich folgen

       q = x1 x2 = 50         ( 1 )

     Wir machen den Ansatz: Beide Wurzeln sind rational; dann nämlich kommt der SRN ins Spiel. Aus dem SRN folgt jetzt nämlich, dass sie auch ganzzahlig sein müssen. ( Für die ganz Spitzfindigen; aus dem Satz von Vieta folgt schon, dass wenn eine Wurzel rational ist, es die andere auch sein muss. Warum? )

   Ach ich hab noch was vergessen; mein Fälschungsvorwurf wird immer aufregender. Das früheste Literaturzitat, welches Wiki vorweisen kann, stammt aus dem Jahre 2006, dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr. Und jetzt passiert das Selbe wie bei den ganzen gefälschten Rembrandts; was du als Schüler noch nicht wissen kannst. Ernst zu nehmende Literatur sind alleine Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) Und die kennen überhaupt keinen SRN ...

    Das Absolutglied 50 hat ja nun schon drei mögliche Zerlegungen

       50 = 1 * 50 = 2 * 25 = 5 * 10      ( 2 )

    Sollen wir uns überhaupt Gedanken machen über die Anzahl dieser Zerlegungen? Und die alle durch probieren? Ich selber erfuhr vom SRN erstmals im Jahre 2011 aus dem Internet. Und da fragte ich mich: Was ist ggt x1;2 ? Komisch; Gauß, der Fürst aller Teiler, der Teilbarkeitseigenschaften entdeckte, die unsereins nicht mal versteht, hätte sich diese Frage nicht vorgelegt? Dagegen wenn, wie ich glaube, der SRN erst 2006 das Licht der Mathematik erblickte, dann allerdings bin ich ein ganz toller Hecht. Der Erste in fünf Jahren zu sein - nicht schlecht, sprach der Specht ... ( Wenn der Entdecker des SRN ein Genie ist, dann bin ich mit meinem gkt immerhin noch das Genie der zweiten Reihe. )

    Ach übrigens; um diesen ggt zu ermitteln, benötige ich abermals den Satz von Vieta. Sei m ein Teiler.

     m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q         ( 3a )

    Ein m , das die rechte Seite von ( 3a ) erfüllt, möge K-Teiler des Polynoms f ( x ) in ( 3b ) heißen:

       f ( x ) := x ² - 15 x + 50         ( 3b )

     ( K wie Koeffizient. ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; im Falle ( 3b ) offenbar 5 . Die Behauptung

     ggt x1;2 = gkt ( f )      ( 3c )

     Der Witz an der Sache. Ein Polynom kannst du genau so durch seinen gkt kürzen wie einen Bruch durch seinen ggt . Und zwar geschieht dies vermittelst der Substitution

      x := u * gkt ( f ) = 5 u         ( 4a )

      ( 4a ) einfüttern in ( 3b )

     ( 5 u ) ² - 3 * 5 ( 5 u ) + 2 * 5 ² =       ( 4b )

     = 5 ² ( u ² - 3 u + 2 ) = 0          ( 4c )

     Und - oh wunder - das Absolutglied 2 ist eine Primzahl; es verbleibt nur noch die triviale Zerlegung

     | u1 | = 1 ; | u2 | = 2       ( 5a )

      Allerdings ist das Vorzeichen noch nicht eindeutig, weil ja " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt. Schönen Gruß an euren Pauker; er soll euch endlich mal die cartesische Vorzeichenregel beibringen.

   " Zwei Mal Plus. "

       0 < u1 < = u2        ( 5b )

       Ist das jetzt schon ein Beweis? Noch nicht ganz; Ausgangspunkt war ja " Vieta q " Beziehung ( 1 ) Hier wird noch so getan, als wenn es ===> abzählbar unendlich viele rationale Zerlegungen gäbe. Der SRN ist recht eigentlich eine drastische Verschärfung von Vieta q ; zunächst hatten wir die Anzahl Möglichkeiten auf 3 , dann auf eine eingeschränkt. Was aber nach wie vor offen ist: Vieta p .

        p = u1 + u2 = 3       ( 6a )

       x1 = 5 ; x2 = 10      ( 6b )

        SO hat eine anständige Ausarbeitung auszusehen.

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du suchst dir 2 Zahlen, die malgenommen 50 und plus bzw minus 15 ergeben;

dann kommst du schnell auf 5 und 10; dann guckst du, dass es mit den Vorzeichen hinhaut; x1 * x2 = 50

und x1 + x2 = +15  (hier immer umgedrehtes Vorzeichen)

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Der Satz von Vieta sagt aus, dass bei der Gleichung x²+px+q=0 folgendes gilt:
x1+x2=-p
x1*x2=q
Überlege jetzt, wie sich entweder p summieren läßt bzw. welche beiden Faktoren das q ergeben, und teste die Ergebnisse an der jeweils anderen Gleichung:
z. B. q=50, d.h. 50=1*50  (testen: 1+50=51, also ungleich -p=15)
                          50=2*25  (testen: 2+25=27, also ungleich -p=15)
usw... (gibt ja nicht mehr viele ganzzahlige Produkte, die 50 ergeben)

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x1 * x2 = 50

und x1+x2 = 15

passt nur bei 5 und 10

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Du machst das mit der quadratischen Lösungsformel, d.h. : p/2 + Wurzel aus(p/2)hoch2 - q. (Oder - Wurzel aus)
In Deinem Fall ist p =15 und q=50
Dadurch bekommst Du eine Formel:
15/2 + Wurzel aus (p/2)ins Quadrat - 50 (- 50 denn + und - ergibt bekanntlich - )
Und Deine andere Formel wäre das selbe:
15/2 - Wurzel aus (p/2) hoch 2 - 50

So kommst du auf x= 5, 10

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Kommentar von FataMorgana2010
24.11.2015, 22:22

Es soll doch gerade NICHT mit der pq-Formel gemacht werden... sondern durch systematisches Probieren. 

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Kommentar von Michelle0911
25.11.2015, 14:22

tut mir ja leid

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