Satz von Vieta, 3 Lösungsverfahren (Mitternachtsformel...) und Normalform zu Scheitelpunktform und andersrum?

5 Antworten

Der Satz von Vieta und die Mitternachtsfomel sind zwei der drei möglichen Lösungsverfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen. Das dritte Verfahren wäre die pq-Formel.

Die allgemeine quadr. Gleichung sieht so aus: ax²+bx+c=0
(in diesem "Idealfall" wird die Gleichung nicht unbedingt vorliegen; aber es bedeutet nichts anderes als "alles auf eine Seite bringen"...)

Bei dieser Form kannst Du direkt die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) anwenden. Für die beiden anderen Verfahren musst Du zuerst durch a teilen, und erhältst so die "Normalform" x²+px+q=0.

Hier kannst Du nun die pq-Formel anwenden (diese wende ich immer an). Um mit dem Satz von Vieta zu lösen, musst Du folgende Gleichungen aufstellen: x1+x2 = -p und x1 * x2 = q, d. h. die beiden Lösungen müssen addiert -p und gleichzeitig multipliziert den Wert q ergeben. In der Praxis wirst Du hierbei alle ganzzahligen Lösungen von x1 * x2 = q aufzählen und dann prüfen ob deren Addition -q ergibt. (sind die Lösungen x1 und x2 nicht ganzzahlig, dann ist diese Methode eigentlich nicht zu gebrauchen)

Normalform einer quadratischen Funktion: f(x)=ax²+bx+c
Um hieraus auf die Scheitelpunktform zu kommen, musst Du das a ausklammern und dann mit Hilfe der "quadratischen Ergänzung" das fehlende Glied für die 1./2. binom. Form zu bekommen.

Um von der Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)²+e auf die Normalform zu kommen, brauchst Du einfach nur die quadratische Klammer ausrechnen, dann die Klammer lösen und mit dem e zusammenfassen.

Wie wäre es mit einem Beispiel?

Ok, dann gebe ich eins vor.

Sei die Funktion y = 2x^2 + 8x + 6 gegeben

Wo liegt der Scheitelpunkt ?

y = 2x^2 + 8x + 6 I Zahl vor x^2 ausklammern
y = 2(x^2 + 4x) + 6 I Zahl vor dem x halbieren und dann quadrieren

y = 2(x^2 + 4x + 2^2-2^2) + 6 I dazuzählen und abziehen

y = 2 (x^2 + 4x + 4)+ 2* (-4)+6 I die -2^2 aus der Klammer ziehen und  die zwei

y = 2 (x+2)^2 I Binom erkennen

y = 2 (x+2)^2 -2 I Scheitelpunkt angeben

S(-2/-2)

Vom Scheitelpunkt zur Normalform

y = 2 (x+2)^2 -2 I Binom auflösen

y = 2 (x^2 + 4x + 4) -2 I mit * 2

y = 2x^2 + 8x + 6 <------ Normalform

Einfach ausmultiplizieren

Der Satz von Vieta nützt vor allem zur Probe. Wenn du x1 und x2 heraus hast, musst du bei Multiplikation auf q und bei Addition auf -p kommen. Ist ja auch klar, denn die Nullstellen kann man ja auch in Linearfaktorschreibweise schreiben als (x-x1)(x-x2) und Wenn man das ausmultipliziert, steht hinten x1x2 und in der Mitte -x1x -x2x = -(x1+x2)x

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LG adidasx3

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