satz des pythagoras ,sinus,...

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Satz des Pythagoras = a^2 + b^2 = c^2 (c ist immer die längste Seite im Dreieck und denk am ende an das Wurzel ziehen). Sinus = gegenkathete / Hypotenuse. cosinus = ankathete / Hypotenuse. und tangens = gegenkathete / ankathete. Hypotenuse = längste seite im dreieck. gegenkathete = gegenüber vom gesuchten winkel und ankathete das was über bleibt. und wenn du die winkel berechnen willst dan ^-1 mit dem taschenrechner rechnen

Pythagoras lautet:

Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²
Katheten sind die kurzen Seiten im Dreieck
Hypotenuse ist die längste, liegt also auch dem größten Winkel im Dreieck gegenüber

Winkelfunktion:

Sinus = Gegenkathete (also die kurze Seite die gegenüber am Winkel liegt) / Hypotenuse
Kosinus = Ankathete (Seite am Winkel) / Hypotenuse
Tangens = Gegenkathete / Ankathete

Beispiel Winkelfunktion:

a = 10cm
Alpha = 32°
Gamma = 90°
c = ???

Jetzt kannst du das richtige Verfahren suchen und rechnen. 

cos(Alpha)              = Ankathete / Hypotenuse
Hypotenuse * cos(Alpha) = Ankathete
Hypotenuse              = Ankathete / cos(Alpha)
Hypotenuse              = 10cm / cos(32°)
Hypotenuse              ~ 11.79cm

A. Zu ergänzen wäre der Zusammenhang für einen beliebigen Winkel phi:

tan (phi) = Gegenkathete / Ankathete =

  • erweitere mit "1 / Hypotenuse" zum Doppelbruch:

(Gegenkathete / Hypotenuse ) / (Ankathete / Hypotenuse) =

sin (phi) / cos (phi)

B. Die Winkelfunktionen sin, cos, tan sind auch für Dreiecke definiert, in denen keiner der gegebene Winkel ein rechter ist. Dazu dient die Einheitskreis-Definition der Winkelfunktionen, die du in >http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis findest.

Leider ist da nur eine Viertel-Einheitskreis gezeichnet, tatsächlich aber haben alle Punkte eines Einheitskreises die Koordinaten (cos (phi), sin (phi) ), wobei 0° <= phi < 360°.

So wird z.B. auch klar, warum tan (phi) nicht definiert ist für phi = 90° + k * 180° (wobei k eine beliebige ganze Zahl ist). Nämlich... ?

Diese Definition ist auch sehr hilfreich, um einige einfache Zusammenhänge und häufig vorkommende Werte der Winkelfunktionen per geometrische Vorstellung im Kopf zu haben:

  • (cos (phi))² + (sin (phi))² = 1² = 1 für beliebigen Winkel phi: "trigonometrischer Pythagoras" im Einheitskreis;

  • cos (60°) = sin (30°) = 1/2: Im gleichseitigen Dreieck ist eine Höhe auch Seitenhalbierende;

  • cos (phi) = sin (90° - phi): Spiegelung an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems;

usw.

C. Die nächste Sätze, die auf dich zukommen sind sicher die folgenden, die für ein allgemeines Dreieck gelten, und die häufig bei der Berechnung von Dreiecken gebraucht werden.

  • Sinusssatz:

a * sin (beta) = b * sin (alpha) ( = h_ c, Höhe auf c);

entsprechende für Höhen auf andere Seiten.

  • (Kosinussatz)

c² = a² + b² - 2ab cos (gamma) oder

a² = b² + c² - 2bc cos (alpha) oder

b² = c² + a² - 2ac cos (beta)

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