Sattelpunkt - Begründung?

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1 Antwort

Das lässt sich schlecht argumentieren, weil es nicht im Allgemeinen stimmt.

Gegenbeispiel: f(x) = x^4, f'(x) = 4x³, f''(x) = 12x²;

bei x0 = 0 haben f' und f'' eine Nullstelle, aber f keinen Sattelpunkt (sondern ein Extremum).


Ich würde den Sattelpunkt als Spezialfall eines Wendpunktes einführen (f' hat nicht nur ein Extremum, sondern berührt in diesem die x-Achse).

Ich weiß, dass das nur gilt, wenn f'''(x) ungleich 0 ist. Das Problem ist, die Schüler hatten die Wendepunkte noch nicht und auch nicht die 3. Ableitung. Ich kann denen zwar ein Gegenbeispiel liefern, aber ich weiß nicht ob das reicht. [Es steht als Aufgabe bei den Extrempunkten drin]

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@Celine1919

Wie lautete die Aufgabe denn genau?

Soll die Aussage für eine bestimmten Typ von Funktionen (für den der Zusammenhang tatsächlich so gilt) bewiesen werden?

Soll ein Sattelpunkt an einem Einzelbeispiel erst einmal graphisch veranschaulicht werden?


Vielleicht lässt sich so argumentieren: Wenn f'(x0) = f''(x0) = 0, dann kann es sein (muss aber nicht), dass f' in seiner Nullstelle x0 das Vorzeichen nicht wechselt (wenn dieses notwendige Kriterium und seine Bedeutung hoffentlich schon einfgeführt sind, denn) das müsste aber so sein, wenn ein Extremum vorliegt. Wie aber kann f sonst aussehen, wenn bei x0 eben kein Extermum vorliegt? (usw.)

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