Richtung des gemeinsamen Normalenvektors angeben, einfach Kreuzprodukt anwenden?

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2 Antworten

Wie ich annehme sind g1 und g2 zwei Geradengleichungen in Parameterform und befinden sich im R^3, dem dreidimensionalen reelen Zahlenraum.

g1 := a + l*b

g2 := c + l*d

a,b,c,d Vektoren des R^3 fest gewählt. l eine reele Zahl als Parameter frei wählbar.

Die Vektoren b und d sind keine Normalenvektoren sondern Richtungsvektoren, wenn du zwei Geradengleichungen gegeben hast.

Bildest du das Kreuzprodukt b x d so erhälst du den Normalenvektor, also einen Vektor der senkrecht auf b wie auch auf d steht.

Das Kreuzprodukt bildet immer ein Rechtssystem (entspricht also mathematisch positivem Sinn). So hast du also die Vektoren b, d und den gemeinsamen Normalenvektor in dieser Konstellation aufeinander stehen.

Wenn b = (b1, b2, b3)^T und d = (d1, d2, d3)^T so gilt für das Kreuzprodukt:

b x d = (b2*d3 - b3*d2 , -(b1*d3 - b3*d1) , b1*d2 - b2*d1)^T

Das "^T" bzw. "Transponiert" meint dabei übrigens, dass der Vektor ein Spaltenvektor ist, ich ihn hier jedoch aufgrund der Gegebenheiten als Zeilenvektor geschrieben habe.

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Kommentar von Polevita
28.12.2015, 01:50

Hast du vielleicht eine Zeichnung parat? Die beiden Richtungsvektoren sind ja Windschief zueinander, daher kann ich mir schlecht vorstellen wie der Normalenvektor senkrecht auf BEIDEN liegen soll

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also ich denke so:

die beiden b-Vetoren bei den Geraden sind keine Normalenvektoren, sondern die Richtungsv. der Geraden und wenn du mit diesen beiden b

das Kreuzprodukt bildest, bekommst du den Normalenv. raus, der auf beiden senkrecht steht; so wie man bei der Ebene auch das Kreuzprod. der beiden Richtungsv. bildet, um den Normalenv. zu bekommen.

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Kommentar von Polevita
27.12.2015, 21:27

Und warum gibt der Normalenvektor die Richtung an?

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